Определение криволинейного интеграла второго рода

Пусть в пространстве $\mathbf { \textit { Oxyz } }$ дана кусочно-гладкая кривая $L=\mathop { AB } \limits^\cup$, на которой определена функция $\mathbf { \textit { P } } (\mathbf { \textit { x } }$, $\mathbf { \textit { y } }$, $\mathbf { \textit { z } } )$.

Разобьём кривую точками $\mathbf { \textit { A } } \_ { 0 } (\mathbf { \textit { x } } \_ { 0 } , \mathbf { \textit { y } } \_ { 0 } , \mathbf { \textit { z } } \_ { 0 } )=\mathbf { \textit { A } } , \mathbf { \textit { A } } \_ { 1 } (\mathbf { \textit { x } } \_ { 1 } , \mathbf { \textit { y } } \_ { 1 } , \mathbf { \textit { z } } \_ { 1 } ), \mathbf { \textit { A } } \_ { 2 } (\mathbf { \textit { x } } \_ { 2 } , \mathbf { \textit { y } } \_ { 2 } , \mathbf { \textit { z } } \_ { 2 } ), { \ldots } , \mathbf { \textit { A } } \_ { i } (\mathbf { \textit { x } } \_ { i } \quad \mathbf { \textit { y } } \_ { i } , \mathbf { \textit { z } } \_ { i } ), { \ldots } , \mathbf { \textit { A } } \_ { n } (\mathbf { \textit { x } } \_ { n } \quad \mathbf { \textit { y } } \_ { n } , \mathbf { \textit { z } } \_ { n } )=\mathbf { \textit { B } }$ на $\mathbf { \textit { n } }$ частей, на каждой из дуг $\mathop { A\_ { i-1 } A\_i } \limits^\cup$ выберем произвольную точку $\mathbf { \textit { M } } \_ { i } (\mathbf { \textit { x } } \_ { i } \quad \mathbf { \textit { y } } \_ { i }$, $\mathbf { \textit { z } } \_ { i } )$, найдём $\mathbf { \textit { P } } (\mathbf { \textit { M } } \_ { i } )=\mathbf { \textit { P } } \_ { i } (\mathbf { \textit { x } } \_ { i } \quad \mathbf { \textit { y } } \_ { i }$, $\mathbf { \textit { z } } \_ { i } )$ и проекцию $\Delta x\_i =x\_i -x\_ { i-1 }$ дуги $\mathop { A\_ { i-1 } A\_i } \limits^\cup$ на ось $\mathbf { \textit { Ох } }$ и составим интегральную сумму $\sum\limits\_ { i=1 } ^n { P(M\_i )\cdot \Delta x\_i }$.

Если существует предел последовательности интегральных сумм при $\mathop { \max } \limits\_ { i=1,2,\ldots n } \Delta l\_i \to 0$, не зависящий ни от способа разбиения кривой на дуги $\mathop { A\_ { i-1 } A\_i } \limits^\cup (\mathbf { \textit { i } } = 1, 2, { \ldots } , \mathbf { \textit { n } } )$, ни от выбора точек $\mathbf { \textit { M } } \_ { i }$, то функция $\mathbf { \textit { Р } } (\mathbf { \textit { x } } ,\mathbf { \textit { y } } ,\mathbf { \textit { z } } )$ называется интегрируемой по кривой $\mathbf { \textit { L } }$, а значение этого предела называется криволинейным интегралом второго рода, или криволинейным интегралом по координате $\mathbf { \textit { х } }$ от функции $\mathbf { \textit { Р } } (\mathbf { \textit { x } } ,\mathbf { \textit { y } } ,\mathbf { \textit { z } } )$ по кривой $\mathbf { \textit { L } }$ и обозначается $\int\limits\_L { P(M)\cdot dx }$ { или $\int\limits\_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { P(M)\cdot dx }$ } .

Теорема существования

Если функция $\mathbf { \textit { Р } } (\mathbf { \textit { x } }$,$\mathbf { \textit { y } }$,$\mathbf { \textit { z } } )$ непрерывна на кривой $\mathbf { \textit { L } }$, то она интегрируема по этой кривой.

Если на кривой $\mathbf { \textit { L } }$, вместе с функцией $\mathbf { \textit { Р } } (\mathbf { \textit { x } }$,$\mathbf { \textit { y } }$,$\mathbf { \textit { z } } )$, заданы функции $\mathbf { \textit { Q } } (\mathbf { \textit { x } }$,$\mathbf { \textit { y } }$,$\mathbf { \textit { z } } )$ и $\mathbf { \textit { R } } (\mathbf { \textit { x } }$,$\mathbf { \textit { y } }$,$\mathbf { \textit { z } } )$, то, аналогично интегралу $\int\limits\_L { P(M)\cdot dx }$, определяются интегралы $\int\limits\_L { Q(M)\cdot dy }$ и$\int\limits\_L { R(M)\cdot dz }$.

В приложениях рассматривается сумма этих интегралов, которая обозначается $\int\limits\_L { P(M)\cdot dx+Q(M)\cdot dy+R(M)\cdot dz }$ и также называется криволинейным интегралом второго рода. Если кривая, по которой ведётся интегрирование, является контуром { т.е. замкнута } , то, как и для криволинейного интеграла по длине дуги, в качестве начальной { и совпадающей с ней конечной } точки можно взять любую точку кривой.