Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.

Пусть кривая $L$ задана параметрическими уравнениями $L:\left[{ \begin{array} { l } x=x(t), \\ y=y(t), \\ z=z(t); \\ \end{array} }\right.\quad t\_0 \leqslant t\leqslant t\_k$, где $x(t),;y(t),;z(t)$- непрерывно дифференцируемые функции, и пусть точкам $A\_i (x\_i ,y\_i ,z\_i )$, которые задают разбиение кривой, соответствуют значения параметра $t\_i$, т.е. $x\_i =x(t\_i ),;y\_i =y(t\_i ),;z\_i =z(t\_i )$.

Тогда по теореме Лагранжа существуют такие точки $\bar { t } \_i ;(i=1,2,\ldots ,n)$, что $\Delta x\_i =x\_i -x\_ { i-1 } = { x } '(\bar { t } \_i )(t\_i -t\_ { i-1 } )$.

Выберем точки $M\_i$, получающиеся при этих значениях параметра: $M\_i (x\_i ,y\_i ,z\_i )=M\_i (x(\bar { t } \_i ),y(\bar { t } \_i ),z(\bar { t } \_i ))$.

Тогда интегральная сумма для криволинейного интеграла $\sum\limits\_ { i=1 } ^n { P(x\_i ,y\_i ,z\_i )\cdot \Delta x\_i }$ будет равна интегральной сумме для определенного интеграла $\sum\limits\_ { i=1 } ^n { P(x(\bar { t } \_i ),y(\bar { t } \_i ),z(\bar { t } \_i ))\cdot { x } '(\bar { t } \_i )\cdot \Delta t\_i }$.

Так как $\Delta l\_i \to 0\Leftrightarrow \Delta t\_i \to 0$, то, переходя к пределу при $\mathop { \max } \limits\_ { i=1,2,\ldots ,n } \Delta l\_i \to 0,;\text{ или, } ;\text{ что } ;\text{ тоже } ;\text{ самое } ,;\mathop { \max } \limits\_ { i=1,2,\ldots ,n } \Delta t\_i \to 0$ в равенстве $\sum\limits\_ { i=1 } ^n { P(x\_i ,y\_i ,z\_i )\cdot \Delta x\_i } =\sum\limits\_ { i=1 } ^n { P(x(\bar { t } \_i ),y(\bar { t } \_i ),z(\bar { t } \_i ))\cdot { x } '(\bar { t } \_i )\cdot \Delta t\_i }$, получим

$\int\limits\_L { P(x,y,z)\cdot dx } =\int\limits\_ { t\_0 } ^ { t\_k } { P(x(t),y(t),z(t))\cdot { x } '(t)\cdot dt } .$

Аналогично доказываются формулы для интегралов по другим координатам. Окончательно $\begin{array} { l } \int\limits\_L { P(x,y,z)\cdot dx+Q(x,y,z)\cdot dy+R(x,y,z)\cdot dz } = \\ =\int\limits\_ { t\_0 } ^ { t\_k } { \left[ { P(x(t),y(t),z(t))\cdot { x } '(t)+Q(x(t),y(t),z(t))\cdot { y } '(t)+R(x(t),y(t),z(t))\cdot { z } '(t) }\right]dt } . \\ \end{array}$

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла второго рода ни чем не отличается от вычисления интеграла первого и сводится к интегрированию по параметру. Направление интегрирования определяется условиями задачи.

Пример 1

Найти $\int\limits\_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { ydx-xdy+zdz }$, где $\mathop { AB } \limits^\cup$ - виток винтовой линии $\mathbf { \textit { x } } =\mathbf { \textit { a } } \cdot \cos \mathbf { \textit { t } } , \mathbf { \textit { y } } =\mathbf { \textit { a } } \cdot \sin \mathbf { \textit { t } } , \mathbf { \textit { z } } =\mathbf { \textit { a } } \cdot \mathbf { \textit { t } } , 0 \leqslant\mathbf { \textit { t } } \leqslant$ 2$\pi$.

Решение:

$\int\limits\_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { ydx-xdy+zdz } =\int\limits\_0^ { 2\pi } { (a\sin t\cdot (-a\sin t)-a\cos t\cdot a\cos t+at\cdot a)dt } =a^2\int\limits\_0^ { 2\pi } { (t-1)dt } =2a^2(\pi ^2-\pi )$

Пусть плоская кривая задана в декартовой системе координат уравнением $\mathbf { \textit { y } } =\mathbf { \textit { y } } (\mathbf { \textit { x } } )$, $\mathbf { \textit { A } } (\mathbf { \textit { a } }$,$\mathbf { \textit { y } } (\mathbf { \textit { a } } ))$, $\mathbf { \textit { B } } (\mathbf { \textit { b } }$,$\mathbf { \textit { y } } (\mathbf { \textit { b } } ))$.

Тогда $\int\limits\_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { Pdx+Qdy } =\int\limits\_a^b { (P(x,y(x))+Q(x,y(x)) { y } '(x))dx } .$ > Пример 2

Найти $\int\limits\_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { (x+y)dx+y^2dy }$ по кривой $\left[{ \begin{array} { l } y=0,;0\leqslant x\leqslant 1 \\ y=\ln x,;1\leqslant x\leqslant e \\ \end{array} }\right.$.

Решение:

Пользуясь свойством аддитивности, разобьем интеграл на сумму двух:

$\int\limits\_0^1 { (x+o)dx+\int\limits\_1^e { (x+\ln x+ } } \ln ^2x\cdot \frac { 1 } { x } )dx=\left. { \frac { x^2 } { 2 } }\right|\_0^1 + \left. { (\frac { x^2 } { 2 } +x\ln x-x+ \frac { \ln ^3x } { 3 } ) }\right|\_1^e =\frac { e^2 } { 2 } +\frac { 4 } { 3 }$

Пример 3

Найти $\oint\limits\_c { x(1-y)dx+xdy }$, где $\mathbf { \textit { C } }$ - окружность, проходимая в отрицательном направлении { по часовой стрелке } .

Решение:

Параметризуем окружность $\mathbf { \textit { x } } =2\cos \mathbf { \textit { t } } , \mathbf { \textit { y } } =2\sin \mathbf { \textit { t } } , 0 \leqslant \mathbf { \textit { t } } \leqslant 2\pi$. Движению по часовой стрелке соответствует уменьшение параметра $\mathbf { \textit { t } }$, поэтому интегрируем от $2\pi$ до 0:

$\begin{array} { l } \oint\limits\_С { x(1-y)dx+xdy=\int\limits\_ { 2\pi } ^0 { (2\cos t(1-2\sin t)(-2\sin t)+2\cos t\cdot 2\cos t)dt=\int\limits\_ { 2\pi } ^0 { (-4\cos t\sin t } } } + \\ +8\cos t\cdot \sin ^2t+4\cos ^2t)dt=\left. { (-2\sin ^2t+\frac { 8 } { 3 } \sin ^3t+2t+\sin 2t) }\right|\_ { 2\pi } ^0 =-4\pi . \\ \end{array}$

Пример 4

Вычислить $\int\limits\_L { 2xydx+(x^2+y^2)dy }$ по каждому из путей, соединяющих точки $\mathbf { \textit { O } } (0,0)$ и $\mathbf { \textit { A } } (2,4)$, и изображённых на рисунке:

1. Ломаная $\mathbf { \textit { OBA } }$, состоящая из прямолинейных отрезков;

2. Ломаная $\mathbf { \textit { OCA } }$;

3. Прямолинейный отрезок $\mathbf { \textit { OA } }$;

4. Параболы $\mathbf { \textit { ODA } }$ и $\mathbf { \textit { OEA } }$, симметричные относительно координатных осей.

Решение:

1). $\int\limits\_ { OBA } { 2xydx+(x^2+y^2)dy } =\int\limits\_ { OB } { 2xydx+(x^2+y^2)dy } + \quad +\int\limits\_ { BA } { 2xydx+(x^2+y^2)dy }$ { по свойству аддитивности } . На $\mathbf { \textit { ОВ } }$ в качестве параметра естественно выбрать переменную $\mathbf { \textit { х } }$, при этом $y=0,;dy=0$, поэтому $\int\limits\_ { OB } { 2xydx+(x^2+y^2)dy } =0$.

На $\mathbf { \textit { ВА } } \quad x=2,;dx=0,;0\leqslant y\leqslant 4$, поэтому $\int\limits\_ { BA } { 2xydx+(x^2+y^2)dy } =\int\limits\_0^4 { \left( { 2^2+y^2 }\right)dy } =\left. { \left( { 4y+\frac { y^3 } { 3 } }\right) }\right|\_0^4 =37\frac { 1 } { 3 }$.

Окончательно, $I\_1 =\int\limits\_ { OBA } { 2xydx+(x^2+y^2)dy } =37\frac { 1 } { 3 }$.

2). $\int\limits\_ { OCA } { 2xydx+(x^2+y^2)dy } =\int\limits\_ { OC } { 2xydx+(x^2+y^2)dy } +\int\limits\_ { CA } { 2xydx+(x^2+y^2)dy }$.

$\int\limits\_ { OC } { 2xydx+(x^2+y^2)dy } =\left| { x=0,;dx=0,;0\leqslant y\leqslant 4 }\right|=\int\limits\_0^4 { y^2dy } =\frac { 64 } { 3 } =21\frac { 1 } { 3 } . \\ \int\limits\_ { CA } { 2xydx+(x^2+y^2)dy } =\left| { y=4,;dy=0,;0\leqslant x\leqslant 2 }\right|=\int\limits\_0^2 { 8xdx } =16.$ Окончательно, $I\_2 =\int\limits\_ { OСA } { 2xydx+(x^2+y^2)dy } =37\frac { 1 } { 3 }$.

3). На прямолинейном отрезке $\mathbf { \textit { OA } } \quad y=2x$, поэтому $\int\limits\_ { OA } { 2xydx+(x^2+y^2)dy } =\int\limits\_0^2 { \left( { 2x\cdot 2x\cdot 1+(x^2+4x^2)\cdot 2 }\right)dx } =\int\limits\_0^2 { 14x^2dx } =\frac { 112 } { 3 } =37\frac { 1 } { 3 }$.

4). Уравнение параболы $\mathbf { \textit { OEA } }$ имеет вид $x=ky^2$, значение коэффициента $\mathbf { \textit { k } }$ найдём, подставляя в это уравнение координаты точки $\mathbf { \textit { А } }$:

$2=k4^2\rightarrow k=1/8\rightarrow x=y^2/8;~x'\_y=y/4$, поэтому

$\int\limits\_ { OEA } { 2xydx+(x^2+y^2)dy } =\int\limits\_0^4 { \left[ { \left( { 2\cdot \frac { y^2 } { 8 } \cdot y }\right)\cdot \frac { y } { 4 } +\left( { \frac { y^4 } { 64 } +y^2 }\right) }\right]dy } =\int\limits\_0^4 { \left( { \frac { 5y^4 } { 64 } +y^2 }\right)dy } =37\frac { 1 } { 3 }$.

5). Совершенно также убеждаемся, что интеграл по параболе $\mathbf { \textit { ODA } }$ имеет то же значение.

Закономерен вопрос: для любого ли интеграла и любых начальной и конечной точек значение интеграла не зависит от формы пути, соединяющего эти точки?

Убедимся в том, что это не так, на примере интеграла $\int\limits\_L { 2xydx-(x^2+y^2)dy }$: $I\_1 =\int\limits\_ { OBA } { 2xydx-(x^2+y^2)dy } =-\int\limits\_0^4 { (2^2+y^2)dy } =-37\frac { 1 } { 3 }$; $I\_2 =\int\limits\_ { OCA } { 2xydx+(x^2-y^2)dy } =\int\limits\_0^4 { y^2dy } -\int\limits\_0^2 { 8xdx } =\frac { 64 } { 3 } -16=5\frac { 1 } { 3 } \ne I\_1$.

Следующие разделы будут посвящены ответу на поставленный вопрос: при каких условиях криволинейный интеграл второго рода $\int\limits\_С { Pdx+Qdy }$ не зависит от формы пути, соединяющего начальную и конечную точки, и определяется только этими точками? В трёхмерном случае этот вопрос будет изучаться в теории поля.