Формула Грина

Связность, односвязность, многосвязность

Напомним определения ряда понятий из теории функций нескольких переменных, которыми нам придется пользоваться.

Множество точек { на прямой, на плоскости, в пространстве } называется ** связным**, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей этому множеству.

Область { на плоскости, в пространстве } называется ** односвязной**, если любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно непрерывной деформацией стянуть в точку, не выходя при этом за пределы области.

Примеры:

Односвязны шар, параллелепипед и вообще любой выпуклый объём в пространстве. Односвязен шаровой слой, заключённый между двумя сферами. Пример неодносвязной области: тор. Все пространство односвязно и остаётся односвязным, если из него удалить точку или отрезок. Если же удалить из пространства прямую, оно потеряет свойство односвязности: окружность, охватывающую эту прямую, не удастся стянуть в точку, не пересекая прямую.

Кусочно-гладкая граница ограниченной односвязной области всегда связна, следовательно, является контуром.

Теорема Грина для односвязной области

Пусть на плоскости $\mathbf { \textit { Oxy } }$ задана односвязная область$\mathbf { \textit { D } }$, ограниченная кусочно-гладким контуром $\mathbf { \textit { C } }$. На множестве $\bar { D } =D\cup C$ определены непрерывные функции $P(x,y)$ и $Q(x,y)$, имеющие непрерывные частные производные.

Тогда $\oint\limits\_С { P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint\limits\_D { \left( { \frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } }\right)dxdy } }$, при этом контур$\mathbf { \textit { C } }$ обходится так, что область $\mathbf { \textit { D } }$ остаётся слева.

Доказательство

1). Пусть $\mathbf { \textit { D } }$ - простая область. Докажем сначала, что $\oint\limits\_C { P(x,y)dy } =-\iint\limits\_D { \frac { \partial P } { \partial y } dxdy }$.

$y=\varphi \_2 (x)y=\varphi \_1 (x)$

Опишем $\mathbf{\textit{D}}$ неравенствами $D:\left({\begin{array}{l} a\leqslant x\leqslant b, \\ \varphi \_1 (x)\leqslant y\leqslant \varphi \_2 (x). \\ \end{array}}\right.$

Тогда $-\iint\limits\_D { \frac { \partial P } { \partial y } dxdy } =-\int\limits\_a^b { dx\int\limits\_ { \varphi \_1 (x) } ^ { \varphi \_x (x) } { \frac { \partial P } { \partial y } dy } } =-\int\limits\_a^b { \left. { P(x,y) }\right|\_ { \varphi \_1 (x) } ^ { \varphi \_2 (x) } dx } =-\int\limits\_a^b { P(x,\varphi \_2 (x))dx } - +\int\limits\_a^b { P(x,\varphi \_1 (x))dx } = \\ =\int\limits\_a^b { P(x,\varphi \_1 (x))dx } -\int\limits\_b^a { P(x,\varphi \_2 (x))dx } =\int\limits\_ { \mathop { ABE } \limits^\cup } { P(x,y)dx } + \int\limits\_ { \mathop { FGA } \limits^\cup } { P(x,y)dx }$.

Если контур включает вертикальные участки, такие как $\mathbf { \textit { EF } }$, то на этих участках $\mathbf { \textit { dx } } = 0$, поэтому $\int\limits\_ { \mathop { EF } \limits^\cup } { P(x,y)dx } =0$, и $y=\psi \_2 (y)y=\psi \_1 (y)-\iint\limits\_D { \frac { \partial P } { \partial y } dxdy } =\int\limits\_ { \mathop { ABE } \limits^\cup } { P(x,y)dx } +\int\limits\_ { \mathop { EF } \limits^\cup } { P(x,y)dx } +\int\limits\_ { \mathop { FGA } \limits^\cup } { P(x,y)dx } =\oint\limits\_C { P(x,y)dx }$, что и требовалось доказать.

Равенство $\oint\limits\_C { Q(x,y)dy } =\iint\limits\_D { \frac { \partial Q } { \partial x } dxdy }$ доказывается точно также:

$\iint\limits\_D { \frac { \partial Q } { \partial x } dxdy } =\int\limits\_c^d { dy\int\limits\_ { \psi \_1 (y) } ^ { \psi \_2 (y) } { \frac { \partial Q } { \partial x } dx } } =\int\limits\_c^d { \left. { Q(x,y) }\right|\_ { \psi \_1 (y) } ^ { \psi \_2 (y) } dy } = \int\limits\_c^d { Q(\psi \_2 (y),y)dy } -\int\limits\_c^d { Q(\psi \_1 (y),y)dy } = \\ = \int\limits\_ { \mathop { BEFG } \limits^\cup } { Q(x,y)dy } + \int\limits\_ { \mathop { GAC } \limits^\cup } { Q(x,y)dy } =\oint\limits\_C { Q(x,y)dy }$.

Суммируя равенства $\oint\limits\_C { P(x,y)dy } =-\iint\limits\_D { \frac { \partial P } { \partial y } dxdy }$ и $\oint\limits\_C { Q(x,y)dy } =\iint\limits\_D { \frac { \partial Q } { \partial x } dxdy }$, получим одну из важнейших формул анализа - формулу Грина $\oint\limits\_С { P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint\limits\_D { \left( { \frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } }\right)dxdy } }$ 2). Пусть теперь $\mathbf { \textit { D } }$ - произвольная, не обязательно простая, область. Разобьём её на простые части. Пусть это разбиение производится отрезком $\mathbf { \textit { АВ } }$ и пусть подобласти $\mathbf { \textit { D } } \_ { 1 }$ и $\mathbf { \textit { D } } \_ { 2 }$ - результат разбиения. Для этих подобластей формула Грина доказана:

$\oint\limits\_ { ABFA } { Pdx+Qdy=\iint\limits\_ { D\_1 } { \left( { \frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } }\right)dxdy } }$ и $\oint\limits\_ { AEBA } { Pdx+Qdy=\iint\limits\_ { D\_2 } { \left( { \frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } }\right)dxdy } }$.

По свойству аддитивности $\oint\limits\_ { ABFA } { Pdx+Qdy } =\oint\limits\_ { AB } { Pdx+Qdy } +\oint\limits\_ { BFA } { Pdx+Qdy }$, $\oint\limits\_ { AEBA } { Pdx+Qdy } =\oint\limits\_ { AEB } { Pdx+Qdy } +\oint\limits\_ { BA } { Pdx+Qdy } = \oint\limits\_ { AEB } { Pdx+Qdy } -\oint\limits\_ { AB } { Pdx+Qdy }$

Суммируя эти выражения, убеждаемся, что криволинейные интегралы по отрезкам $\mathbf { \textit { АВ } }$ и $\mathbf { \textit { ВА } }$ взаимно уничтожаются, а сумма интегралов по кривым $\mathbf { \textit { BFA } }$ и $\mathbf { \textit { AEB } }$ даёт интеграл по контуру $\mathbf { \textit { C } }$, т.е. формула Грина верна и для области, не являющейся простой.

Доказательство остаётся справедливым и в случае, когда разбиение производится добавлением большего числа, чем одна, кривых.

Теорема Грина для многосвязной области

Пусть теперь $\mathbf { \textit { D } }$ многосвязная на плоскости $\mathbf { \textit { Oxy } }$. Граница многосвязной области состоит из нескольких связных частей, не имеющих общих точек.

Рассмотрим случай, когда граница области $\mathbf { \textit { D } }$ { на рисунке область заштрихована } состоит из внешнего контура $\mathbf { \textit { C } }$ и внутренних контуров $\mathbf { \textit { C } } \_ { 1 }$ и $\mathbf { \textit { C } } \_ { 2 }$.

Соединим контур $\mathbf { \textit { C } }$разрезом $\mathbf { \textit { FM } }$ с контуром $\mathbf { \textit { C } } \_ { 1 }$, разрезом $\mathbf { \textit { BG } }$ - с контуром $\mathbf { \textit { C } } \_ { 2 }$. { Под словами "соединим разрезом $\mathbf { \textit { BG } }$ " подразумевается то, что мы удалим из $\mathbf { \textit { D } }$ отрезок $\mathbf { \textit { BG } } )$.

Область ${ D } '=D\backslash (BG\cup FM)$ с границей ${ \Gamma } '=\mathop { AB } \limits^\cup \cup BG\cup (C\_2 =\mathop { GLKG } \limits^\cup )\cup GB\cup \mathop { BF } \limits^\cup \cup FM\cup C\_1 \cup MF\cup \mathop { MA } \limits^\cup$ односвязна, поэтому для неё справедлива формула Грина:

$\oint\limits\_ { { \Gamma } ' } { Pdx+Qdy=\iint\limits\_ { { D } ' } { \left( { \frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } }\right)dxdy } }$

Двойные интегралы по областям $\mathbf { \textit { D } }$ и ${ D } '\mathbf { }$ равны { площадь разрезов равна нулю } ; в криволинейный интеграл по кусочно-гладкой кривой ${ \Gamma } '$ интегралы по разрезам входят с противоположными знаками { $\int\limits\_ { BG } { Pdx } +Qdy$ и $\int\limits\_ { GB } { Pdx } +Qdy$, например } и поэтому взаимно уничтожаются, поэтому оказывается справедлива ** теорема Грина для многосвязной области **:

пусть на плоскости $\mathbf { \textit { Oxy } }$ дана многосвязная область$\mathbf { \textit { D } }$ с границей $\Gamma$. На множестве $\bar { D } =D\cup \Gamma$ определены непрерывные функции $P(x,y)$ и $Q(x,y)$, имеющие непрерывные частные производные. Тогда $\oint\limits\_\Gamma { P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint\limits\_D { \left( { \frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } }\right)dxdy } }$, при этом каждая часть полной границы $\Gamma$ обходится так, что область $\mathbf { \textit { D } }$ остаётся слева.