Вычисление криволинейного интеграла второго рода в случае выполнения условия независимости от формы

Если выполнены условия независимости от формы пути, соединяющего начальную $A(x\_1 ,y\_1 )$ и конечную $B(x\_2 ,y\_2 )$ точки кривой, то значение интеграла $\int\limits\_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { Pdx+Qdy } \mathbf { }$ определяется только точками $\mathbf { \textit { A } }$ и $\mathbf { \textit { B } }$

Поэтому в этом случае для обозначения интеграла применяется обозначение $\int\limits\_A^B { Pdx+Qdy } \mathbf { }$ или $\int\limits\_ { (x\_1 ,y\_1 ) } ^ { (x\_2 ,y\_2 ) } { Pdx+Qdy }$.

Докажем следующую теорему.

Теорема

Если в односвязной области $\mathbf { \textit { G } }$ выполнено условие $\frac { \partial Q } { \partial x } =\frac { \partial P } { \partial y }$, то существует функция $u(x,y)$ такая, что для любых точек $A(x\_1 ,y\_1 )\in G$ и $B(x\_2 ,y\_2 )\in G \quad \int\limits\_ { (x\_1 ,y\_1 ) } ^ { (x\_2 ,y\_2 ) } { Pdx+Qdy } =u(x\_2 ,y\_2 )-u(x\_1 ,y\_1 )\mathbf { . }$

Функцию $u(x,y)$ принято называть потенциальной функцией.

Доказательство

Фиксируем произвольную точку $M\_0 (x\_0 ,y\_0 )\in G$, и докажем, что в качестве искомой функции $u(x,y)$ можно взять $u(x,y)=\int\limits\_ { (x\_0 ,y\_0 ) } ^ { (x,y) } { Pdx+Qdy } \mathbf { . }$

Действительно, по свойству аддитивности $\int\limits\_ { \mathop { M\_0 AB } \limits^\cup } { Pdx+Qdy } =\int\limits\_ { \mathop { M\_0 A } \limits^\cup } { Pdx+Qdy } +\int\limits\_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { Pdx+Qdy } \Rightarrow \mathbf { } \int\limits\_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { Pdx+Qdy } =\mathbf { } =\int\limits\_ { \mathop { M\_0 AB } \limits^\cup } { Pdx+Qdy } -\int\limits\_ { \mathop { M\_0 A } \limits^\cup } { Pdx+Qdy } \mathbf { , }$ или $\int\limits\_ { (x\_1 ,y\_1 ) } ^ { (x\_2 ,y\_2 ) } { Pdx+Qdy } =\int\limits\_ { (x\_0 ,y\_0 ) } ^ { (x\_2 ,y\_2 ) } { Pdx+Qdy } -\int\limits\_ { (x\_0 ,y\_0 ) } ^ { (x\_1 ,y\_1 ) } { Pdx+Qdy } \mathbf { , }$т.е. $\int\limits\_ { (x\_1 ,y\_1 ) } ^ { (x\_2 ,y\_2 ) } { Pdx+Qdy } =u(x\_2 ,y\_2 )-u(x\_1 ,y\_1 )$, что и требовалось доказать.

Разность $u(x\_2 ,y\_2 )-u(x\_1 ,y\_1 )\mathbf { }$обозначается символом $\left. { u(x,y) }\right|\_ { (x\_1 ,y\_1 ) } ^ { (x\_2 ,y\_2 ) } \mathbf { }$ или $\left. { u(x,y) }\right|\_A^B$.

Формула $\int\limits\_ { (x\_1 ,y\_1 ) } ^ { (x\_2 ,y\_2 ) } { Pdx+Qdy } =\left. { u(x,y) }\right|\_ { (x\_1 ,y\_1 ) } ^ { (x\_2 ,y\_2 ) }$ является аналогом формулы Ньютона-Лейбница для двухмерного случая; ещё раз отметим, что она имеет место в случае, когда выполняются условия независимости интеграла от формы пути.

${ M } '(x+\Delta x,y) M(x,y) M\_0 (x\_0 ,y\_0 ) \bar { x }$

Докажем, что для построенной функции $u(x,y)$ выполняются следующие соотношения:

$\frac { \partial u } { \partial x } =P(x,y),;\frac { \partial u } { \partial y } =Q(x,y).$

Доказательство

Действительно, пусть $M(x,y)\in G,$

${ M } '(x+\Delta x,y)\in G.$ Тогда $u(M)=\int\limits\_ { \mathop { M\_0 M } \limits^\cup } { Pdx+Qdy }$,

$u( { M } ')=\int\limits\_ { \mathop { M\_0 M { M } ' } \limits^\cup } { Pdx+Qdy } =\int\limits\_ { \mathop { M\_0 M } \limits^\cup } { Pdx+Qdy } +\int\limits\_ { \mathop { M { M } ' } \limits^\cup } { Pdx+Qdy } \Rightarrow u(x+\Delta x,y)=u(x,y)+\int\limits\_x^ { x+\Delta x } { P(x,y)dx }$ { на $M { M } 'y=const$ } $\Rightarrow \Delta \_x u(x,y)=u(x+\Delta x,y)-u(x,y)= \int\limits\_x^ { x+\Delta x } { P(x,y)dx } =P(\bar { x } ,y)\cdot \Delta x$ { по теореме о среднем } $\Rightarrow \frac { \Delta \_x u } { \Delta x } =P(\bar { x } ,y)$.

Точка $\bar { x }$ удовлетворяет условиям $x<\bar { x } <x+\Delta x$. Устремим $\Delta x\to 0$, тогда $\bar { x } \to x$, и $\mathop { \lim } \limits\_ { \Delta x\to 0 } \frac { \Delta \_x u } { \Delta x } =\mathop { \lim } \limits\_ { \bar { x } \to x } P(\bar { x } ,y)=P(x,y)$.

Аналогично доказывается, что $\frac { \partial u } { \partial y } =Q(x,y)$.

Условие $\frac { \partial Q } { \partial x } =\frac { \partial P } { \partial y }$ теперь означает просто, что $\frac { \partial ^2u } { \partial x\partial y } =\frac { \partial ^2u } { \partial y\partial x }$.

Кроме того, из $\frac { \partial u } { \partial x } =P(x,y), \quad \frac { \partial u } { \partial y } =Q(x,y),$ следует, что подынтегральное выражение $P(x,y)dx+Q(x,y)dy = \frac { \partial u } { \partial x } dx+\frac { \partial u } { \partial y } dy=du$ является полным дифференциалом функции $u(x,y)$ { условие $\frac { \partial Q } { \partial x } =\frac { \partial P } { \partial y }$ есть условие того, что обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ - уравнение в полных дифференциалах } .

Для отыскания потенциальной функции $u(x,y)$ можно:

1. Решить уравнение в полных дифференциалах;

2. Построить $u(x,y)$ напрямую по формуле $u(x,y)=\int\limits\_ { (x\_0 ,y\_0 ) } ^ { (x,y) } { Pdx+Qdy }$. В качестве пути интегрирования обычно берётся путь $\mathbf { \textit { M } } \_ { 0 } \mathbf { \textit { AM } }$, состоящий из отрезков, параллельных координатным осям.

Тогда на $\mathbf { \textit { M } } \_ { 0 } \mathbf { \textit { A } } y=y\_0, dy=0, x\_0 \leqslant x$ { как переменная интегрирования } $\leqslant x\_M$; на $\mathbf { \textit { AM } } x=x\_M ;dx=0, y\_0 \leqslant y$ { как переменная интегрирования } $\leqslant y\_M$.

Продемонстрируем оба метода на примере $\int\limits\_L { 2xydx+(x^2+y^2)dy }$. Здесь $P=2xy, \frac { \partial P } { \partial y } =2x, Q=x^2+y^2, \frac { \partial Q } { \partial y } =2x=\frac { \partial P } { \partial y }$, т.е. условия независимости выполняются. В качестве точки $M\_0$ берём начало координат $M\_0 (0,0)$.

1. Решаем систему уравнений $\left[{ \begin{array} { l } \frac { \partial u } { \partial x } =2xy, \\ \frac { \partial u } { \partial y } =x^2+y^2. \\ \end{array} }\right.$ Из первого уравнения $u(x,y)=\int\limits\_0^x { 2xydx } =x^2y+\varphi (y)$, подставляем эту функцию во второе уравнение $\frac { \partial u } { \partial y } =x^2+ { \varphi } '(y)=x^2+y^2\Rightarrow { \varphi } '(y)=y^2\Rightarrow \varphi (y)=y^3/3+C\Rightarrow u(x,y)=x^2y+\frac { x^3 } { 3 } +C$ { потенциал всегда определяется с точностью до произвольной постоянной, физический смысл имеет разность потенциалов в двух точках, которая не зависит от этой постоянной } .

2. $u(x,y)=\int\limits\_0^x { 2x\cdot 0\cdot dx } +\int\limits\_0^y { \left( { x^2+y^2 }\right)dy } =x^2y+\frac { y^3 } { 3 } +C$.

Теперь, когда потенциальная функция определена, легко находится любой интеграл: $\int\limits\_ { (0,0) } ^ { (2,4) } { 2xydx+(x^2+y^2)dy } =\left. { \left( { x^2y+\frac { y^3 } { 3 } }\right) }\right|\_ { (0,0) } ^ { (2,4) } =16+\frac { 64 } { 3 } -0=37\frac { 1 } { 3 }$.