Свойства криволинейного интеграла второго рода

Для этого интеграла существенны следующие свойства:

1) Линейность

а) свойство суперпозиции $\int\limits\_L { ((\vec { a } \_1 +\vec { a } \_2 ),,\overrightarrow { dr } )=\int\limits\_L { (\vec { a } \_1 ,,\overrightarrow { dr) } } +\int\limits\_L { (\vec { a } \_2 ,,\overrightarrow { dr) } } }$

б) свойство однородности $\int\limits\_L { \lambda ,\left( { \vec { a } ,,\overrightarrow { dr } }\right) } =\lambda \int\limits\_L { \left( { \vec { a } ,,\overrightarrow { dr } }\right) }$.

Доказательство

Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Так как в интегральной сумме число слагаемых конечно, используя свойство скалярного произведения, перейдем к интегральным суммам для правых частей равенств. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат. \newline

2) Аддитивность

Если $L=L\_1 \cup L\_2 \mathbf { , }$ то $\int\limits\_L { \left( { \bar { a } ,,\overrightarrow { dr } }\right) } \mathbf { = } \int\limits\_ { L\_1 } { \left( { \bar { a } ,,\overrightarrow { dr } }\right) } \mathbf { + } \int\limits\_ { L\_2 } { \left( { \bar { a } ,,\overrightarrow { dr } }\right) } \mathbf { . }$

Доказательство

Выберем разбиение области L так, чтобы ни один из элементов разбиения ( первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременно как элементы L$\_ { 1 }$, так и элементы L$\_ { 2 }$. Это можно сделать по теореме существования (замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.

3) Ориентируемость $\int\limits\_L { \left( { \bar { a } ,,\overrightarrow { dr } }\right) } = - \int\limits\_ { -L } { \left( { \bar { a } ,,\overrightarrow { dr } }\right) }$ Доказательство

Интеграл по дуге $-L$, т.е. в отрицательном направлении обхода дуги есть предел интегральных сумм, в слагаемых которых вместо $\overrightarrow { \Delta r\_i }$ стоит $-\overrightarrow { \Delta r\_i }$. Вынося "минус" из скалярного произведения и из суммы конечного числа слагаемых, переходя к пределу, получим требуемый результат.

Заметим, что свойство ориентируемости в криволинейном интеграле первого рода отсутствует. Зато в криволинейном интеграле второго рода отсутствуют свойства интегрирования неравенств, теорема об оценке и теорема о среднем, которые есть в криволинейном интеграле первого рода.