Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл

Из формулы Грина $\oint\limits\_С { P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint\limits\_D { \left( { \frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } }\right)dxdy } }$ следует неожиданный результат: если функции $\mathbf { \textit { P } }$ и $\mathbf { \textit { Q } }$ удовлетворяют условию $\frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } =1$, то $\oint\limits\_С { P(x,y)dx+Q(x,y)dy= } S(D)$, $S(D)$ - площадь области $\mathbf { \textit { D } }$.

Таким образом, площадь области можно выразить через криволинейный интеграл второго рода по границе этой области. В качестве функций $\mathbf { \textit { P } }$ и $\mathbf { \textit { Q } }$ можно взять любые непрерывно дифференцируемые функции, такие что $\frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } =1$, например, $P=0, Q=x$; $P=-y, Q=0$; $P=-\frac { y } { 2 } ,;Q=\frac { x } { 2 }$; $P=2xy,;Q=x^2+y^2+x$ и т.д.

В результате $S(D)=\oint\limits\_C { xdy } =-\oint\limits\_C { ydx } =\frac { 1 } { 2 } \oint\limits\_C { xdy-ydx }$ и т.д.

При этом контур $\mathbf { \textit { C } }$ { граница области $\mathbf { \textit { D } }$ } обходится в положительном направлении. Чаще всего применяется третья из этих формул.

Для примера найдём площадь, ограниченную эллипсом $\frac { x^2 } { a^2 } +\frac { y^2 } { b^2 } =1$. Параметрические уравнения эллипса $x=a\cos t,;y=b\sin t$, поэтому $S(D)=\frac { 1 } { 2 } \oint\limits\_C { xdy-ydx } =\frac { 1 } { 2 } \int\limits\_0^ { 2\pi } { ab(\cos ^2t+\sin ^2t)dt } =\pi ab$ - это, видимо, самый простой способ вычисления площади эллиптической области.