Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода

Масса

$\mathbf { \textit { m } }$ материальной кривой $\mathop { AB } \limits^\cup$ с плотностью $\mu (\mathbf { \textit { x } }$,$\mathbf { \textit { y } }$,$\mathbf { \textit { z } } )$ вычисляется по формуле $m=\int\limits\_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { \mu (x,y,z)d\ell }$.

Пример 1

Найти массу четверти лемнискаты $r^2=a^2\cos 2\varphi$, если плотность выражается формулой $\mu (\mathbf { \textit { x } }$,$\mathbf { \textit { y } } )=k\sqrt { x^2+y^2 } =kr$.

Решение:

$r=a\sqrt { \cos 2\varphi }$, ${ r } '=-a\frac { \sin 2\varphi } { \sqrt { \cos 2\varphi } }$ , поэтому

$m=\int\limits\_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { krd\ell } = k\int\limits\_0^ { \pi / 4 } { a\sqrt { \cos 2\varphi } } \cdot \sqrt { a^2\cos 2\varphi +\frac { a^2\sin ^22\varphi } { \cos 2\varphi } } d\varphi = \frac { 1 } { 4 } \pi ka^2$

Статические моменты и координаты центра масс

Пусть плоская материальная кривая $\mathop { AB } \limits^\cup$ имеет плотность $\mu (\mathbf { \textit { x } }$,$\mathbf { \textit { y } } )$.

Статический момент относительно оси $\mathbf { \textit { Ox } }$ определяется по формуле $M\_x =\int\limits\_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { y\mu (x,y)d\ell }$, относительно оси Oy: $M\_y =\int\limits\_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { x\mu (x,y)d\ell }$.

Аналогично, статические моменты пространственной кривой относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам $M\_ { xy } =\int\limits\_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { z\mu d\ell } , \quad M\_ { xz } =\int\limits\_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { y\mu d\ell } , \quad M\_ { yz } =\int\limits\_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { x\mu d\ell }$ Координаты центра масс могут быть найдены по формулам

$x\_c =\frac { M\_ { y } } { m } ,\quad ;y\_c =\frac { M\_ { x } } { m } \quad$ - для плоской кривой;

$x\_c =\frac { M\_ { yz } } { m } ,\quad ;y\_c =\frac { M\_ { xz } } { m } ,\quad ;z\_c =\frac { M\_ { xy } } { m } \quad -$ для пространственной кривой, где $\mathbf { \textit { m } }$ - масса кривой.

Пример 1

Найти центр масс четверти однородной окружности $x^2+y^2=a^2,x\geqslant 0,y\geqslant 0$

Решение:

Можно считать, что $\mu =1$. Тогда масса кривой равна ее длине $m=\frac { 2\pi a } { 4 } =\frac { \pi a } { 2 }$. Статический момент $M\_x$ равен $M\_x =\int\limits\_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { yd\ell } =\int\limits\_0^a { \sqrt { a^2-x^2 } \cdot \sqrt { 1+\frac { x^2 } { a^2-x^2 } } dx } =a^2.$ Из соображений симметрии $M\_y =M\_x$, поэтому координаты центра масс равны $x\_c =\frac { M\_y } { m } =\frac { 2a } { \pi } ,\quad ;y\_c =\frac { M\_x } { m } =\frac { 2a } { \pi } .$ > Моменты инерции

Моменты инерции плоской кривой $\mathop { AB } \limits^\cup$с плотностью $\mu$ относительно координатных осей вычисляются по формулам $I\_ { Ox } =\int\limits\_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { y^2\mu d\ell } , \quad I\_ { Oy } =\int\limits\_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { x^2\mu d\ell } ;$ моменты инерции относительно начала координат $I\_0 =\int\limits\_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { (x^2+y^2)\mu d\ell } =I\_x +I\_y$ В случае пространственной кривой моменты инерции относительно координатных осей и начала координат определяются по формулам $I\_ { Ox } =\int\limits\_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { (y^2+z^2)\mu d\ell } , \quad I\_ { Oy } =\int\limits\_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { (x^2+z^2)\mu d\ell } , \quad I\_ { Oz } =\int\limits\_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { (x^2+y^2)\mu d\ell } , \quad I\_0 =\int\limits\_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { (x^2+y^2+z^2)\mu d\ell =\frac { I\_ { Ox } +I\_ { Oy } +I\_ { Oz } } { 2 } } .$ > Пример 1

Найти момент инерции относительно оси $\mathbf { \textit { Oz } }$ однородной винтовой линии $\mu =1\mathbf { \textit { x } } =\mathbf { \textit { a } } cos \mathbf { \textit { t } } , \mathbf { \textit { y } } =\mathbf { \textit { a } } sin \mathbf { \textit { t } } , \mathbf { \textit { z } } =\mathbf { \textit { at } } ; 0 \leqslant \mathbf { \textit { t } } \leqslant 2\pi$

Решение:

$I\_ { Oz } =\int\limits\_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { (x^2+y^2)\mu d\ell } =\int\limits\_0^ { 2\pi } { (a^2\cos ^2t+a^2\sin ^2t)\sqrt { a^2+a^2\sin ^2t+a^2\cos ^2t } dt=a^3\sqrt 2 \int\limits\_0^ { 2\pi } { dt=2\sqrt 2 \pi a^3 } }$.