Закон больших чисел и неравенство Чебышева: теоретические основы и практическое значение

Закон больших чисел

При многократном повторении испытаний, массовые случайные явления могут проявляться с определёнными закономерностями. Эти закономерности обладают свойством устойчивости, суть которого состоит в том, что действие отдельной случайной величины почти не влияет на среднее значение большого числа подобных величин.

Для практики важно знать условия } , в результате которых действие многих случайных величин приводит к результату почти не зависимому от случая. Эти условия или эту зависимость между случайностью и закономерностью устанавливают предельные теоремы вероятностей.

Под законом больших чисел не следует понимать какой-то один общий закон, связанный с большими числами. Закон больших чисел - это обобщённое название нескольких теорем из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний, среднее значение этих величин стремится к некоторым постоянным числам.

По смыслу эти теоремы можно разбить на две группы. Одна группа - закон больших чисел { теоремы Чебышева, Бернулли } , другая - центральная предельная теорема { теорема Ляпунова }

Для доказательства этих теорем потребуется неравенство Чебышева.

Неравенство Чебышева

Неравенство Чебышева справедливо для дискретных и непрерывных случайных величин. Пусть у нас есть дискретная случайная величина, заданная рядом распределения. $\begin{array} { l|l|l|l|l|l } X & X\_1 & X\_2 & X\_3 & \cdots & X\_n \\ \hline P & P\_1 & P\_2 & P\_3 & \cdots & P\_n \end{array}$ Требуется оценить вероятность того, что отклонение случайной величины от её математического ожидания не превышает по абсолютной величине положительного числа $\xi$.

Теорема{ неравенство Чебышева } . Для произвольной случайной величины X с математическим ожиданием a=M(X) и дисперсией $\sigma ^2=D( x )$, для любого $\xi >0$ справедливо равенство

$$\begin{equation} P( { \left| { x-a }\right|>\xi } )\leqslant \frac { \sigma ^2 } { \xi ^2 } \qquad (2) \end{equation}$$

$$\begin{equation} P( { \left| { x-a }\right|\leqslant \xi } )\geqslant 1-\frac { \sigma ^2 } { \xi ^2 } \qquad (3) \end{equation}$$

Из неравенства Чебышева следует - чем меньше $D(x)$, тем меньше вероятность отклонения. Неравенство Чебышева применимо для любых случайных величин. В форме { 1 } оно устанавливает верхнюю границу, а в форме { 3 } - нижнюю границу вероятности рассматриваемого события.

Запишем неравенство Чебышева в форме { 3 } для случайной величины Х имеющей биномиальный закон распределения с математическим ожиданием $а=M { X } =np$ и дисперсией $D(X)=npq$. $P( { \left| { x-np }\right|\leqslant \xi } )\geqslant 1-\frac { npq } { \xi ^2 }$ В основном неравенство Чебышева имеет теоретическое значение для теорем.

Пример. Средний расход воды на ферме составляет 1000л. в день, а среднее квадратическое отклонение этой случайной величины не превышает 200л. Оценить вероятность того, что расход воды на ферме в любой выбранный день не превзойдет 2000л.

Решение. Пусть $X$ - расход воды на ферме. По условию $M(x)=1000$. Дисперсия $D(x)=\sigma ^2\leqslant 200^2$. Так как границы интервала $0\leqslant X\leqslant 2000$ симметричны относительно математического ожидания $M(x)=1000$, то для оценки вероятности искомого события применим неравенство Чебышева:

$P(X\leqslant 2000)=P(0\leqslant X\leqslant 2000)=P( { \left| { X-1000 }\right|\leqslant 1000 } )\geqslant 1-\frac { 200^2 } { 1000^2 } =0,96$, т.е. не менее, чем 0,96.