Доверительный интервал: определение и методы построения

Пусть по данным выборки найдена статистическая оценка характеристик $\theta ^\ast$ неизвестного параметра $\theta$. Точность оценки характеризует положительное число $\delta : \left| { \theta -\theta ^\ast }\right|<\delta$.

Опр Надёжностью { доверительной вероятностью } оценки $\theta$ по $\theta ^\ast$ называют вероятность $\gamma$, с которой осуществляется неравенство $\left| { \theta -\theta ^\ast }\right|<\delta$.

Замечание Наиболее часто задают надёжность $\gamma =0,95, 0,99, 0,999$.

Опр Доверительным называют интервал $(\theta ^\ast -\delta ,\theta ^\ast +\delta )$, который покрывает неизвестный параметр $\theta$ с заданной надёжностью $\gamma$.

Пусть случайная величина $X$ задана нормально. Известно и среднеквадратическое отклонение $\sigma$. Требуется оценить математическое ожидание при заданной надёжности $\gamma$ и выборочном среднем $\overline x \_b$. Имеем $\left| { \overline x \_b -a }\right|<\delta \Rightarrow \overline x \_b -\delta <a<x\_b +\delta$,

где $\delta =\frac { t\cdot \sigma } { \sqrt n }$, $n -$ объём выборки, $t -$ определяется из равенства $2\Phi ( t )=\gamma , \Phi ( t )=\frac { \gamma } { 2 } -$ находят по таблицам функций Лапласа. В таблице находят $\frac { \gamma } { 2 }$ и получают аргумент функции $t$.

Пусть нас интересует вероятность некоторого события $A$ и для ее определения проведено $n$ независимых испытаний.

Пусть $m(A) -$ число появлений события $A$ при $n$ испытаниях. Возникает вопрос - насколько хорошо относительная частота - $\frac { m(A) } { n } =\tilde { p }$ оценивает $p$. Для того, чтобы знать к каким ошибкам может привести замена неизвестного параметра его оценкой и с какой уверенностью можно ожидать, что ошибка не выйдет за известные пределы возникает необходимость в оценке найденного параметра. С этой целью, строится интервальная оценка, то есть по данным выборки указывается интервал, который накрывает неизвестный параметр с заданной вероятностью $\gamma$ близкой к единице. Вероятность $\gamma$ называют доверительной вероятностью или надежность оценки. Рассмотрим отклонение относительной частоты от вероятности, то есть разность $p-\tilde { p }$. Можно определить $t\_ { \gamma }$ как корень уравнения $\Phi ( { t\_\gamma } )=\frac { \gamma } { 2 }$ { он находится по таблице - для $\gamma =0,95, t\_ { \gamma } =1,96$, для $\gamma =0,997, t\_ { \gamma } =3$ } и сказать что с вероятностью $\gamma$ выполняется неравенство

$$\begin{equation} \tilde { p } -t\_\gamma \sqrt { \frac { \tilde { p } (1-\tilde { p } } { n } } \leqslant p\leqslant \tilde { p } +t\_\gamma \sqrt { \frac { \tilde { p } (1-\tilde { p } } { n } } \qquad (1) \end{equation}$$

Полученная оценка справедлива при больших $n$. Перепишем неравенство { 1 } в следующей форме

$\left| { p-\tilde { p } }\right|\leqslant 1,96\sqrt { \frac { \tilde { p } (1-\tilde { p } } { n } } \qquad (2)$.

Используя формулу { 2 } в виде $\left| { p-\tilde { p } }\right|=2\sqrt { \frac { \tilde { p } (1-\tilde { p } } { N } }$ можно определить объём выборки $N$, необходимый для получения оценки $p$ с заданной точностью и надёжностью $\gamma$.

Пример: Выборочная проверка показала, что из 100 изделий 87 удовлетворяют стандарту. Мы хотим быть уверены на $95 { \% }$, что не ошибаемся в оценке процента нестандарта. В каких пределах он находится? Каков должен быть объем выборки, чтобы оценить процент брака с точностью до 0,01?

Решение: По теореме Муавра - Лапласа с вероятность 0,95: $\tilde { p } -t\_\gamma \sqrt { \frac { \tilde { p } (1-\tilde { p } } { n } } \leqslant p\leqslant \tilde { p } +t\_\gamma \sqrt { \frac { \tilde { p } (1-\tilde { p } } { n } }$

Подставим в эту формулу наши данные - $n=100$ и $\tilde { p } =0,13$ получаем, что $0,06<p<0,2$. Для нахождения объема выборки $N$, необходимого для получения оценки $p$ с точность до 0,01, это же неравенство представим в форме { 2 } . $\left| { p-\tilde { p } }\right|=2\sqrt { \frac { \tilde { p } (1-\tilde { p } } { N } }$ Откуда $0,01=2\sqrt { \frac { \tilde { p } (1-\tilde { p } ) } { N } } \Rightarrow ,N=40000,\tilde { p } ,(1-\tilde { p } )=40000\cdot 0,87\cdot 0,13=4524.$