Проверка гипотезы о показательном распределении: методы и критерии

Функция распределения имеет вид: $f( x )=\left\{ { { \begin{array}{c} { 0,при,x<0 } \\ { \lambda e^ { -\lambda x } ,при,x\geqslant 0 } \\ \end{array} } }\right.$ 1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочное среднее $\overline x \_b$.

1. Принять в качестве оценки параметра $\lambda$ величину $\lambda =\frac { 1 } { \overline x \_b }$.

2. Найти вероятность попадания случайной величины $X$ в частичные интервалы $( { x\_i ,x\_ { i+1 } } )$ по формуле $P\_i =P( { x\_i <X<x\_ { i+1 } } )=e^ { -\lambda x\_i } -e^ { -\lambda x\_ { i+1 } }$.

3. Вычислить теоретические частоты $n\_i' =np\_i$.

4. Сравнить теоретические и эмпирические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв $k=S-2$.

5. Строится аналогичная таблица

6. Выбирают уровень значимости $\alpha$ и вычисляют $\chi \_ { кр } ^2 ( { \alpha ,k } )$

7. Проверяют критерий $\chi \_ { набл } ^2 <\chi \_ { кр } ^2 ( { \alpha ,k } )$, если неравенство выполняется, то гипотеза не отвергается иначе - отвергается

$$\begin{array} { |l|l|l|l|l|l|l|l| } \hline i& n\_i & P\_i^\ast & n\_i' & ( { n\_i -n\_i' } )& ( { n\_i -n\_i' } )^2& \frac { ( { n\_i -n\_i' } )^2 } { n\_i' } & Контроль~ \frac { n\_i^2 } { n\_i' } \\ \hline 1& & & & & & & \\ \hline 2& & & & & & & \\ \hline 3& & & & & & & \\ \hline 4& & & & & & & \\ \hline 5& & & & & & & \\ \hline 6& & & & & & & \\ \hline & & & & & & \sum = \chi \_ { набл } ^2 & \chi \_ { набл } ^2 =\sum { \frac { n\_i^2 } { n\_i' } -n } \\ \hline \end{array}$$

Проверка гипотезы о нормальном распределении

Функция плотности нормального распределения. $f( x )=\frac { 1 } { \sigma \sqrt { 2\pi } } e^ { -\frac { ( { x-a } )^2 } { 2\sigma ^2 } }$.

Для того, чтобы проверить гипотезу требуется

1. Вычислить $\overline { x\_b }$ и $\sigma \_b =\sqrt { D\_b }$

2. Нормируем случайную величину $X$ переходя к случайной величине $Z$ , где $z=\frac { x\_i -\overline x \_b } { \sigma \_b }$, где $x\_i -$ концы и начала интервалов. Наименьшее значение $Z=-\infty$ наибольшее $\to +\infty$

3. Вычисляются теоретические вероятности попадания величины $Z$ в интервал $( { z\_i ,z\_ { i+1 } } ), P\_i =P( { z\_i <Z<z\_ { i+1 } } )=\Phi ( { z\_ { i+1 } } )-\Phi ( { z\_i } )$, где $\Phi ( z )-$ функция Лапласа находится из таблиц.

4. Вычисляют теоретические частоты $n\_i' =np\_i$, $n$ - объём выборки.

5. Вычисляют величину $\chi \_ { набл } ^2 =\sum { \frac { ( { n\_i -n\_i' } )^2 } { n\_i' } }$, контроль $\chi \_ { набл } ^2 =\sum { \frac { n\_i^2 } { n\_i' } -n }$.

6. Вычисляют число степеней свободы $k=S-1-r = S-3$, где $S -$ число интервалов.

7. Строится таблица

8. Выбирают уровень значимости $\alpha$и вычисляют $\chi \_ { кр } ^2 ( { \alpha ,k } )$

9. Проверяют критерий $\chi \_ { набл } ^2 <\chi \_ { кр } ^2 ( { \alpha ,k } )$, если неравенство выполняется, то гипотеза принимается иначе - отвергается.

$$\begin{array} { |l|l|l|l|l|l|l|l|l| } \hline i& n\_i & Z~интервал& P\_i^\ast & n\_i' & ( { n\_i -n\_i' } )& ( { n\_i -n\_i' } )^2& \frac { ( { n\_i -n\_i' } )^2 } { n\_i' } & Контроль ~ \frac { n\_i^2 } { n\_i' } \\ \hline 1& & & & & & & & \\ \hline 2& & & & & & & & \\ \hline 3& & & & & & & & \\ \hline 4& & & & & & & & \\ \hline 5& & & & & & & & \\ \hline 6& & & & & & & & \\ \hline & & & & & & & \sum = \chi \_ { набл } ^2 & \chi \_ { набл } ^2 =\sum { \frac { n\_i^2 } { n\_i' } -n } \\ \hline \end{array}$$