Критерий согласия Пирсона: методика и применение для проверки гипотез о виде распределения

Опр Критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения называется критерием согласия.

Имеется несколько критериев согласия: $\chi ^2$ { хи-квадрат } К. Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др.

Обычно теоретические и эмпирические частоты различаются. Случай расхождения может быть не случайным, значит и объясняется тем, что не верно выбрана гипотеза. Критерий Пирсона отвечает на поставленный вопрос, но как любой критерий он ничего не доказывает, а лишь устанавливает на принятом уровне значимости её согласие или несогласие с данными наблюдений.

Опр Достаточно малую вероятность, при которой событие можно считать практически невозможным называют уровнем значимости.

На практике обычно принимают уровни значимости, заключённые между 0,01 и 0,05, $\alpha =0,05$ - это $5 { \% }$ уровень значимости.

В качестве критерия проверки гипотезы примем величину

$$\begin{equation} \chi ^2=\sum { \frac { ( { n\_i -n\_i' } )^2 } { n\_i' } } \qquad (1) \end{equation}$$

здесь $n\_i -$ эмпирические частоты, полученные из выборки, $n\_i' -$ теоретические частоты, найденные теоретическим путём.

Доказано, что при $n\to \infty$ закон распределения случайной величины { 1 } независимо от того, по какому закону распределена генеральная совокупность, стремится к закону $\chi ^2$ { хи-квадрат } с $k$ степенями свободы.

Опр Число степеней свободы находят по равенству $k=S-1-r$ где $S-$ число групп интервалов, $r-$ число параметров.

1. равномерное распределение: $r=2, k=S-3$

2. нормальное распределение: $r=2, k=S-3$

3. показательное распределение: $r=1, k=S-2$.

Правило. Проверка гипотезы по критерию Пирсона.

1. Для проверки гипотезы вычисляют теоретические частоты и находят $\chi \_ { набл } ^2 =\sum { \frac { ( { n\_i -n\_i' } )^2 } { n\_i' } }$

2. По таблице критических точек распределения $\chi ^2$ по заданному уровню значимости $\alpha$ и числу степеней свободы $k$ находят $\chi \_ { кр } ^2 ( { \alpha ,k } )$.

3. Если $\chi \_ { набл } ^2 <\chi \_ { кр } ^2$ то нет оснований отвергать гипотезу, если не выполняется данное условие - то отвергают.

ЗамечаниеДля контроля вычислений применяют формулу для $\chi ^2$ в виде $\chi \_ { набл } ^2 =\sum { \frac { n\_i^2 } { n\_i' } -n }$

Проверка гипотезы о равномерном распределении

Функция плотности равномерного распределения величины $X$ имеет вид $f( x )=\frac { 1 } { b-a } x\in \left[ { a,b }\right]$.

Для того, чтобы при уровне значимости $\alpha$ проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по равномерному закону, требуется:

1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочное среднее $\overline { x\_b }$ и $\sigma \_b =\sqrt { D\_b }$. Принять в качестве оценки параметров $a$ и $b$ величины

$a = \overline x \_b -\sqrt 3 \sigma \_b$, $b = \overline x \_b +\sqrt 3 \sigma \_b$

2. Найти вероятность попадания случайной величины $X$ в частичные интервалы $( { x\_i ,x\_ { i+1 } } )$ по формуле $P\_i =P( { x\_i <X<x\_ { i+1 } } )=\int\limits\_ { x\_i } ^ { x\_ { i+1 } } { f( x )dx=\left. { \frac { 1 } { b-a } x }\right| { \begin{array}{c} { x\_ { i+1 } } \\ { x\_i } \\ \end{array} } } =\frac { x\_ { i+1 } } { b-a } -\frac { x\_i } { b-a } .$ 3) Найти теоретические { выравнивающие } частоты по формуле $n\_i' =np\_i$.

3. Приняв число степеней свободы $k=S-3$ и уровень значимости $\alpha =0,05$ по таблицам $\chi ^2$ найдём $\chi \_ { кр } ^2$ по заданным $\alpha$ и $k$, $\chi \_ { кр } ^2 ( { \alpha ,k } )$.

4. По формуле $\chi \_ { набл } ^2 =\sum { \frac { ( { n\_i -n\_i' } )^2 } { n\_i' } }$ где $n\_i -$ эмпирические частоты, находим наблюдаемое значение $\chi \_ { набл } ^2$.

5. Если $\chi \_ { набл } ^2 <\chi \_ { кр } ^2 -$ нет оснований, отвергать гипотезу.

Проверим гипотезу на нашем примере.

1. $\overline x \_b =13,00,,,\sigma \_b =\sqrt { D\_b } = 6,51$

2. $a=13,00-\sqrt 3 \cdot 6,51=13,00-1,732\cdot 6,51=1,72468$

$b=13,00+1,732\cdot 6,51=24,27532$

$b-a=24,27532-1,72468=22,55064$

3. $P\_i =P( { x\_i <X<x\_ { i+1 } } )=\frac { x\_ { i+1 } } { b-a } -\frac { x\_i } { b-a }$ $P\_1 =( { -1<X<3 } )=\frac { 3 } { 22,55064 } -\frac { -1 } { 22,55064 } =0,13303+0,04434=0,177375$ $P\_2 =( { 3<X<7 } )=\frac { 7 } { 22,55064 } -\frac { 3 } { 22,55064 } =0,177375$ $P\_3 =( { 7<X<11 } )=\frac { 11 } { 22,55064 } -\frac { 7 } { 22,55064 } =0,177375$ $P\_4 =( { 11<X<15 } )=\frac { 15 } { 22,55064 } -\frac { 11 } { 22,55064 } =0,177375$ $P\_5 =( { 15<X<19 } )=\frac { 19 } { 22,55064 } -\frac { 15 } { 22,55064 } =0,177375$ $P\_6 =( { 19<X<23 } )=\frac { 23 } { 22,55064 } -\frac { 19 } { 22,55064 } =0,177375$ В равномерном распределении если одинакова длина интервала, то $P\_i -$ одинаковы.

4. Найдём $n\_i' =np\_i$.

5. Найдём $\sum { \frac { ( { n\_i -n\_i' } )^2 } { n\_i' } }$ и найдём $\chi \_ { набл } ^2$.

Занесём все полученные значения в таблицу

$$\begin{array} { |l|l|l|l|l|l|l| } \hline i& n\_i & n\_i' =np\_i & n\_i -n\_i' & ( { n\_i -n\_i' } )^2& \frac { ( { n\_i -n\_i' } )^2 } { n\_i' } & Контроль~ \frac { n\_i^2 } { n\_i' } \\ \hline 1& 1& 4,43438& -3.43438& 11,7950& 2,659898& 0,22551 \\ \hline 2& 6& 4,43438& 1,56562& 2,45117& 0,552765& 8,11838 \\ \hline 3& 3& 4,43438& -1,43438& 2,05744& 0,471463& 2,0296 \\ \hline 4& 3& 4,43438& -1,43438& 2,05744& 0,471463& 2,0296 \\ \hline 5& 6& 4,43438& 1,56562& 2,45117& 0,552765& 8,11838 \\ \hline 6& 6& 4,43438& 1,56562& 2,45117& 0,552765& 8,11838 \\ \hline & & & & & \sum = \chi \_ { набл } ^2 =3,261119& \chi \_ { набл } ^2 =\sum { \frac { n\_i^2 } { n\_i' } -n } =3,63985 \\ \hline \end{array}$$

$\chi \_ { кр } ^2 ( { 0,05,3 } )=7,8$

$\chi \_ { набл } ^2 <\chi \_ { кр } ^2 =3,26<7,8$

Выводотвергать гипотезу нет оснований.