Теоретические и эмпирические моменты: сравнение и применение в статистическом анализе

Пусть дан закон распределения

$$\begin{array} { |l|l|l|l|l| } \hline X& 1& 2& 5& 100 \\ \hline P& 0,6& 0,2& 0,19& 0,01 \\ \hline \end{array}$$

Математическое ожидание $M(X)=1\cdot 0,6+2\cdot 0,2+5\cdot 0,19+100\cdot 0,01=2,95$

Напишем закон для $X^2$

$$\begin{array} { |l|l|l|l|l| } \hline X^2& 1& 4& 25& 10000 \\ \hline P& 0,6& 0,2& 0,19& 0,01 \\ \hline \end{array}$$

Найдем $M( { x^2 } )=1\cdot 0,6+4\cdot 0,2+25\cdot 0,19+10000\cdot 0,01=106,15$

Видим, что $M( { x^2 } )$ значительно больше, это объясняется тем, что $X=100$ после возведения в квадрат значительно увеличилось, а вероятность мала. Т. е. маловероятное, но большое значение играет большую роль.

Опр Начальным моментом порядка $K$ сложной величины $X$ называется математическое ожидание $X^k$, т. е. $\nu \_k =M( { x^k } )$.

В частности момент первого порядка $\nu \_1 =M( x )$, второго $\nu \_2 =M( { x^2 } )$. Тогда формулу для вычисления дисперсии можно представить в виде $D=M( { x^2 } )-( { M( x ) } )^2=\nu \_2 -\nu \_1^2$ Опр Центральным моментом порядка $K$ случайной величины $X$ называется математическое ожидание величины $( { x-M( x ) } )^k,, M( { x-M( x ) } )^k=M\_k$ в частности $M( { x-M( x ) } )^=M\_1 =0$ $M\_2 =M( { x-M( x ) } )^2=M( { x^2 } )-( { M( x ) } )^2=D$ Замечание Эти моменты называются теоретическими. Моменты, которые вычисляют по данным наблюдений, называются эмпирическими.

Опр Начальный эмпирический момент 1-го порядка равен выборочной средней $\nu \_1^\ast =\overline x \_b$

Опр Центральный Эмпирический момент 2-го порядка равен выборочной дисперсии $M\_2^\ast =D\_b$