Статистические оценки параметров распределения: методы и свойства

Предположим, что заранее известен вид теоретического распределения интересующего нас признака X , но параметры этого распределения неизвестны и должны быть найдены по данным выборки.

Для того чтобы решить задачу оценивания параметров теоретического распределения, нам понадобится строить функции, зависящие от выборочных значений $x\_1 ,x\_2 ,\ldots ,x\_n$.

Любую функцию $\theta ( { x\_1 \ldots x\_n } )$ зависящую от выборки и являющуюся случайной величиной, называют статистикой.

Для того чтобы оценки неизвестных параметров, т. е. статистики, давали хорошее приближение неизвестных параметров, распределения генеральной совокупности должны удовлетворять следующим требованиям:

1. Математическое ожидание оценки параметра $M( { \theta \ast } )$ по всевозможным выборкам данного объёма должно равняться истинному значению параметра $M( { \theta \ast } )=\theta$. В этом случае статистическую оценку $\theta \ast$ называют несмещённой.

2. При увеличении объёма выборки оценка должна сходиться по вероятности к истинному значению параметра, в этом случае оценку называют состоятельной.

Если в качестве оценки ищем число, т.е. точку на координатной оси, то оценка называется точечной.

Кроме точечных оценок $\exists$ интервальные оценки.

Опр Общей средней называют среднее арифметическое значение признака

$\overline x =\frac { \sum { x\_i } } { n } =\frac { x\_1 +x\_2 +\ldots x\_n } { n }$, где $x\_i -$ сами варианты

В нашем примере

$\overline x =\frac { \sum { x\_i } } { n } = \frac { 16+17+9+13+21+11+7+19+5+20+\ldots +21-1+15 } { 25 } = 13,68$

Среднее $\overline x -$ несмещённая оценка математического ожидания $M(X)$

Замечание$\overline x -$ ещё называют статистическим средним.

ОпрВыборочной средней $\overline x \_b$ называется среднее арифметическое признака выборочной совокупности.

$\overline x \_b =\frac { \sum\limits\_ { i=1 } ^k { x\_i n\_i } } { n }$, где $n\_i -$ частоты, $x\_i -$ центры интервалов. $\overline x \_b =\frac { 1\cdot 1+6\cdot 5+3\cdot 9+3\cdot 13+6\cdot 17+6\cdot 21 } { 25 } =13$ Замечание$\overline x \_b -$ называют также средним взвешенным.

ОпрОтклонением называется разность между значением признака и общей средней $x\_i -\overline x$

ОпрВыборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемого значения признака от среднего значения. $D\_b =\frac { \sum\limits\_ { i=1 } ^k { ( { x\_i -x\_b } )^2n\_i } } { n }$ ЗамечаниеЭта оценка является смещённой.

ОпрНесмещённой оценкой генеральной дисперсии служит исправленная дисперсия $D=\frac { n } { n-1 } D\_b$

Можно привести ещё формулу для вычисления дисперсии $D\_b =\underbrace { ( { \frac { \sum\limits\_ { i=1 } ^k { n\_i x\_i ^2 } } { n } } ) } \_ { \begin{array} { l } квадрат \\ значений \\ признака \\ \end{array} } -\underbrace { ( { \frac { \sum\limits\_ { i=1 } ^n { n\_i x\_i } } { n } } ) } \_ { \begin{array} { l } квадрат,выборочной \\ средней, { или,общей \\ средней } \\ \end{array} } ^2$ Рассмотрим наш пример. Выпишем таблицу

$$\begin{array} { |l|l|l|l|l|l|l| } \hline x\_i~центры~интервал& 1& 5& 9& 13& 17& 21 \\ \hline n\_i~абсолютн.~частоты& 1& 6& 3& 3& 6& 6 \\ \hline x\_i^2 & 1& 25& 81& 169& 289& 441 \\ \hline \end{array}$$

$\sum\limits\_ { i=1 } ^k { \frac { n\_i x\_i^2 } { n } =\frac { 1\cdot 1+6\cdot 25+3\cdot 81+3\cdot 169+6\cdot 289+6\cdot 441 } { n } =\frac { 4+150+243+507+1734+2646 } { 25 } } =211,,24$

$( { \overline x \_b } )^2=( { 13 } )^2=169$

$D\_b =211,36-169=42,24$

$D=\frac { 25 } { 24 } \cdot 42,24=44$

Среднеквадратическое отклонение $\delta =\sqrt { D\_b } =6,51$ Исправленное среднеквадратическое отклонение $s=\sqrt D =6,6$ Относительная погрешность $\delta =\frac { \overline x -\overline x \_b } { \overline x } \cdot 100\% =5\%$