Теоремы Чебышева и Бернулли: основы закона больших чисел

Теорема Чебышева

Пусть имеем достаточно большое число независимых случайных величин $x\_1 ,x\_2 ,x\_3 ,...,x\_n$ дисперсия каждой из которых не превышает одного и того же постоянного числа, то для любого сколь угодно малого положительного $\xi >0$, вероятность неравенства будет как угодно близка к 1. $\mathop { \lim } \limits\_ { n\to \infty } P( { \left| { \frac { \sum\limits\_ { i=1 } ^n { x\_i } } { n } -\frac { \sum\limits\_ { i=1 } ^n { M( { x\_i } ) } } { n } }\right|<\xi } )=1$ Пусть испытания независимы и проводятся в одинаковых условиях. Для частного случая, когда математические ожидания случайных величин одинаковы

$M( { x\_1 } )=M( { x\_2 } )=...M( { x\_n } )$,тогда

$\sum\limits\_ { i=1 } ^n { M( { x\_i } )=M( x )\cdot n }$, тогда $\mathop { \lim } \limits\_ { n\to \infty } P( { \left| { \frac { \sum\limits\_ { i=1 } ^n { x\_i } } { n } -\frac { M( x )\cdot n } { n } }\right|<\xi } )=1$

или $\mathop { \lim } \limits\_ { n\to \infty } P( { \left| { \overline x -M( x ) }\right|<\xi } )=1$, где $\overline x =\frac { \sum { x\_i } } { n }$- среднее арифметическое.

Смысл этого выражения в том, что начиная с некоторого момента для любого даже сколь угодно малого числа $\xi >$0 будет верно неравенство $\left| { \bar { x } -M(x) }\right|<\xi$ т.е. $\overline x$ обладает свойством устойчивости.

Терема Чебышева имеет большое практическое значение. Она позволяет используя среднее арифметическое, получить представление о величине математического ожидания и наоборот.

Так, проводя какие-нибудь измерения, можно получить большое число результатов измерения, среднее арифметическое которых по теореме Чебышева будет мало отличаться от истинного значения параметра.

Теорема Бернулли

ТеоремаЕсли вероятность события $A$ в каждом из $n$ независимых испытаний постоянна и равна $p$, то при достаточно большом $n$ для любого $\xi >0$ справедливо неравенство $\mathop { \lim } \limits\_ { n\to \infty } P( { \left| { \frac { m } { n } -p }\right|\leqslant \xi } )=1$

$m-$ это число появления события $A$ в $n-$ испытаниях.

ЗамечаниеТеорему Бернулли можно применить к неравенству Чебышева. $P( { \left| { x-a }\right|\leqslant \xi } )\geqslant 1-\frac { \sigma ^2 } { \xi ^2 }$ Пусть надо оценить вероятность того, что отклонение числа $m-$ появления события $A$ в $n-$ испытаниях от ожидаемого результата $np$ не превысит $\xi$. Тогда роль случайной величины играет число $m$, а $M(x)=np$ и $P( { \left| { m-np }\right|<\xi } )\geqslant 1-\frac { npq } { \xi ^2 }$