Центральная предельная теорема Ляпунова: обобщение и условия применимости

Перечисленные только что теоремы, представляющие собой закон больших чисел, ничего не говорят о виде распределения случайной величины.

Другая группа теорем теории вероятностей, которая устанавливает связь между законом распределения суммы случайных величин и его предельной формой - нормальным законом распределения, называется центральной предельной теоремой.

Одной из центральных предельных теорем является теорема Ляпунова.

Теорема Если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых величин, влияние каждой из которых на всю сумму мало, то X имеет распределение близкое к нормальному.

Замечание Если X имеет Математическое ожидание $M(x)$ и дисперсию $D(x)$, то распределение среднего арифметического $\overline x =\frac { \sum { x\_i } } { n }$, вычисленного в $n-$ независимых испытаниях при $n\to \infty$ приближается к нормальному

$\overline x \approx N( { M( x ),\sqrt { \frac { D( x ) } { n } } } )$

или $P( { \left| { \overline x -M( x ) }\right|<\xi } )\approx \Phi ( { \frac { \xi } { \sqrt { \frac { D(x) } { n } } } } )$