Показательное распределение: свойства и применение в моделировании времени ожидания

Показательным или экспоненциальным, называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины $X$, которое описывается плотностью $f( x )=\left\{ { { \begin{array}{c} { 0, ,при,x<0 } \\ { \lambda e^ { -\lambda x } ,при,x\geqslant 0, ,\lambda -const } \\ \end{array} } }\right.$ и имеет один параметр $\lambda$. В этом его преимущество перед другими распределениями.

Найдем функцию распределения $F(x)$ $\begin{array} { l } F( x )=\int\limits\_ { -\infty } ^x { f( x )dx } =\int\limits\_ { -\infty } ^0 { 0dx } +\int\limits\_0^x { \lambda e^ { -\lambda x } dx } =\left. { \frac { \lambda e^ { -\lambda x } } { -\lambda } }\right|\_0^x =-( { e^ { -\lambda x } -e^0 } )=1-e^ { -\lambda x } \\ F( x )=\left\{ { { \begin{array}{c} { 0,,x\leqslant 0 } \\ { 1-e^ { -\lambda x } ,,x\geqslant 0 } \\ \end{array} } }\right. \\ \end{array}$

Найдём вероятность попадания в интервал { a,b } случайной величины, распределенной по показательному закону, заданному функцией распределения $F( x )=\left\{ { { \begin{array}{c} { 0,,x\leqslant 0 } \\ { 1-e^ { -\lambda x } ,,x\geqslant 0 } \\ \end{array} } }\right.$ используя формулу

$P( { a\leqslant x<b } )=F( b )-F( a )$ и учитывая, что $F( a )=1-e^ { -\lambda a } , F( b )=1-e^ { -\lambda b }$, получим $P( { a\leqslant x<b } )=1-e^ { -\lambda a } -1+e^ { -\lambda b } =e^ { -\lambda b } -e^ { -\lambda a }$

для $e^ { -x } -$ существуют таблицы.

Или $P( { a\leqslant x<b } )=e^ { -\lambda b } -e^ { -\lambda a }$

Числовые характеристики показательного распределения.

Пусть непрерывная, случайная величина $x$ распределена по показательному закону $f( x )=\left\{ { { \begin{array}{c} { 0,,при,x<0 } \\ { \lambda e^ { -\lambda x } ,,при,x\geqslant 0 } \\ \end{array} } }\right.$ Найдём математическое ожидание

$M( x )=\int\limits\_0^\infty { xf( x )dx } =\lambda \int\limits\_0^\infty { xe^ { -\lambda x } dx } =$

$\left.| \begin{array}{c} { u=x } \\ { dv=e^ { -\lambda x } dx } \\ \end{array} \begin{array}{c} { du=dx } \\ { v=\frac { e^ { -\lambda x } } { -\lambda } } \\ \end{array} \right.| =\lambda ( -\left. { \frac { xe^ { -\lambda x } } { -\lambda } }\right|\_0^\infty +\frac { 1 } { \lambda } \int\limits\_0^\infty { e^ { -\lambda x } dx } )=$

$= \mathop { \lim } \limits\_ { A\to \infty } \left. { \frac { x } { e^ { \lambda x } } } \right|\_0^A -\mathop { \lim } \limits\_ { A\to \infty } \left. { \frac { e^ { -\lambda x } } { \lambda } } \right|\_0^A = \mathop { \lim } \limits\_ { A\to \infty } ( { \frac { A } { e^ { \lambda A } } -\frac { 0 } { e^ { -0\lambda } } } )-\mathop { \lim } \limits\_ { A\to \infty } \frac { 1 } { \lambda } ( { \frac { 1 } { e^ { \lambda A } } -\frac { 1 } { e^ { 0A } } } )=-\frac { 1 } { \lambda } \mathop { \lim } \limits\_ { A\to \infty } ( { -\frac { 1 } { e^ { 0A } } } )=\frac { 1 } { \lambda }$

Дисперсия

$D( x )=\int\limits\_0^\infty { x^2f( x )dx-M^2( x ) } =\lambda \int\limits\_0^\infty { x^2e^ { -\lambda x } dx } = \left| по,частям,дважды \right| -M^2( x )= \frac { 2 } { \lambda ^2 } -\frac { 1 } { \lambda ^2 } =\frac { 1 } { \lambda ^2 } \\ \sigma ( x )=\sqrt { D( x ) } =\frac { 1 } { \lambda }$

Итак, параметры показательного распределения:

Математическое ожидание $M( x )=\frac { 1 } { \lambda }$.

Дисперсия $D(X)=\frac { 1 } { \lambda ^2 }$.

Среднее квадратическое отклонение $\sigma (X)=\frac { 1 } { \lambda }$