Вероятность появления хотя бы одного события

Теорема Вероятность появления хотя бы одного из событий $A\_1 ,A\_2 \ldots A\_n$ независимых в совокупности равна

$$\begin{equation} P( A )=1-P( { \overline A \_1 } )\cdot P( { \overline A \_2 } )\cdot \ldots \cdot P( { \overline A \_n } ), \qquad (2) \end{equation}$$

где событие А = { появление хотя бы одного из событий $A\_1 ,A\_2 \ldots A\_n$ } ,

обозначив $P( { \overline A \_1 } )=q\_1 ,,,P( { \overline A \_2 } )=q\_2 \ldots$получим

$$\begin{equation} P( A )=1-q\_1 \cdot q\_2 \cdot \ldots \cdot q\_n \qquad (3) \end{equation}$$

Если $q\_1 =q\_2 =\ldots q\_n$, то

$$\begin{equation} P(A)=1-q^n \qquad (4) \end{equation}$$

Пример: Вероятность попадания в цель при стрельбе из 1-го орудия $P\_1 =0,8$ из 2-го $P\_2 =0,7$ из 3-го $P\_3 =0,9$. Производится залп из всех орудий. Найти вероятность хотя бы одного попадания.

Решение:

Введем событие А = { хотя бы одно попадание в цель } . $P( A )=1-q\_1 \cdot q\_2 \cdot q\_3$

• Вероятность промаха из первого орудия $q\_1 =1-P\_1 =1-0,8=0,2$

• Вероятность промаха из второго орудия $q\_2 =1-P\_2 =1-0,7=0,3$

• Вероятность промаха из третьего орудия $q\_3 =1-P\_3 =1-0,9=0,1$

Тогда вероятность хотя бы одного попадания будет равна $P( A )=1-0,2\cdot 0,3\cdot 0,1=1-0,006=0,994$