Формула полной вероятности. Вероятность гипотез

Формула полной вероятности

ТеоремаВероятность события $A$, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий $B\_1 ,B\_2 ,\ldots B\_n$, образующих полную группу равна сумме произведений вероятности каждого из событий на соответствующую условную вероятность.

$$\begin{equation} P( A )=P( { B\_1 } )\cdot P\_ { B\_1 } ( A )+P( { B\_2 } )\cdot P\_ { B\_2 } ( A )+\ldots +P( { B\_n } )\cdot P\_ { B\_n } ( A ) \qquad (5) \end{equation}$$

Формула полной вероятности.

Вероятность полной группы несовместных событий $P( { B\_1 } )+P( { B\_2 } )+\ldots +P( { B\_n } )=1$ > Пример. Имеется два набора ламп. Вероятность того, что лампа 1-го набора стандартна, равна 0,8, второго - 0,7. Найти вероятность того, что взятая наудачу лампа { из наудачу взятого набора } - стандартна.

Решение } : пусть событие $A=$ { извлеченная лампа стандартна }

$B\_1 =$ { лампа извлечена из 1-го набора }

$B\_2 =$ { лампа извлечена из 2-го набора }

эти события попарно - несовместны.

Вероятность того, что лампа вынута из 1-го набора $P( { B\_1 } )=\frac { 1 } { 2 } =0,5$.

Вероятность того, что лампа вынута из 2-го $P( { B\_2 } )=\frac { 1 } { 2 } =0,5$.

Вероятность полной группы несовместных событий $\sum\limits\_i { P( { B\_i } )=0,5+0,5=1 }$.

Вероятность того, что вынутая из 1-го набора лампа является стандартной, есть условная вероятность $P\_ { B\_1 } ( A )=0,8$

Вероятность того, что вынутая из 2-го набора лампа является стандартной, есть условная вероятность $P\_ { B\_2 } ( A )=0,7$

Искомая вероятность того, что вынутая наудачу лампа является стандартной, есть $P( A )=P( { B\_1 } )\cdot P\_ { B\_1 } ( A )+P( { B\_2 } )\cdot P\_ { B\_2 } ( A )=\frac { 1 } { 2 } \cdot 0,8+\frac { 1 } { 2 } \cdot 0,7=\frac { 1 } { 2 } \cdot 1,5=0,75$ >Вероятность гипотез. Формула Байеса

При рассмотрении формулы полной вероятности событие $A$наступает при условии появления одного из несовместных событий $B\_i$, следовательно, события $A$ и $B\_i$ - зависимы. Поскольку заранее неизвестно какое из событий наступит, то будем события $B\_i$ называть гипотезами.

Допустим теперь, что событие $A$ - наступило. Этот факт изменит вероятность гипотез $P\_A ( { B\_1 } )\ldots P\_A ( { B\_n } )$

Найдем условные вероятности в предположении, что событие $A$ наступило т.е. $P\_A ( { B\_1 } ),,,P\_A ( { B\_2 } )\ldots$ { переоценка гипотезы }

Для этого используем теорему умножения.

$P(AB\_1)=P(A)\cdot P\_A(B\_1)=P(B\_1)\cdot P\_ { B\_ { 1 } } (A)$

$P\_A ( { B\_1 } )=\frac { P( { B\_1 } )\cdot P\_ { B\_1 } ( A ) } { P( A ) }$, ** Формула Байеса**

где $P( A )$ находится по формуле полной вероятности.

Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как событие $A$ произошло.

В формуле Байеса есть контроль $\sum\limits\_i { P( { B\_i } )=1 }$ > Пример. Сверла попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что сверло попало к первому контролеру, равна 0,6. Ко второму - 0,4. Вероятность того, что сверло будет признано стандартным 1-м контролером, равна 0,95 - вторым 0,97. Готовое сверло было признано стандартным. Найти вероятность того, что это сверло проверил 1-й контролер.

Решение. Через $A$, обозначим событие, которое произошло. $A=$ { готовое сверло признано стандартным }

Сделаем два предположения, две гипотезы:

$B\_1 =$ { сверло проверил 1 -й контролер } , $P(B\_1 )=0,6$,

$B\_2 =$ { сверло проверил 2 -й контролер } , $P(B\_2 )=0,4$,

Контроль $\sum\limits\_i { P( { B\_i } )=0,6+0,4=1 }$

Вероятность того, что сверло будет признано стандартным 1-м контролером $P\_ { B\_1 } (A)=0,95$,

Вероятность того, что сверло будет признано стандартным 1-м контролером $P\_ { B\_2 } (A)=0,97$,

Искомую вероятность, т.е. вероятность того, что стандартное сверло проверил } 1-й контролер, $P\_A ( { B\_1 } )$ найдем по формуле Байеса, $P( A )$ - находится по формуле полной вероятности.

$P\_A ( { B\_1 } )=\frac { P( { B\_1 } )\cdot P\_ { B\_1 } ( A ) } { P( A ) } =\frac { P( { B\_1 } )\cdot P\_ { B\_1 } ( A ) } { P( { B\_1 } )\cdot P\_ { B\_1 } ( A )+P( { B\_2 } )\cdot P\_ { B\_2 } ( A ) } =\frac { 0,6\cdot 0,95 } { 0,6\cdot 0,95+0,4\cdot 0,97 } =\frac { 0,57 } { 0,57+0,388 } =\frac { 0,57 } { 0,958 } \approx 0,595$

До испытания вероятность гипотезы $B\_1$ равнялась 0,6, а после того, как стал известен результат испытания, вероятность этой гипотезы { т.е. условная вероятность } изменилась и стала 0,595.