Формула Бернулли

Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли

Пусть производится несколько испытаний. Причем, вероятность появления события $A$ в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний. Такие испытания называются независимыми относительно события А. В разных независимых испытаниях событие А, может иметь либо различные вероятности, либо одну и туже. Мы будем рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие $A$ имеет одну и ту же вероятность.

Под сложным событием будем понимать совмещение простых событий. Пусть производится n-испытаний. В каждом испытании событие $A$ может появиться или не появиться. Будем считать, что в каждом испытании вероятность появления события $A$ одна и та же и равна $p$. Тогда вероятность $\overline A$ { или не наступления А } равна $P( { \overline A } )=q=1-p$.

Пусть требуется вычислить вероятность того, что в n-испытаниях событие $A$ наступит k- раз и $n-k$ раз - не наступит. Такую вероятность будем обозначать $P\_n ( k )$. Причем, последовательность наступления события $A$ не важна. Например: $( { AAA\overline A , AA\overline A A, A\overline A AA, \overline A AAA } )$

$P\_5 ( 3 )-$ в пяти испытаниях событие $A$ появилось 3 раза и 2 - не появилось. Такую вероятность можно найти по формуле Бернулли.

Вывод формулы Бернулли

По теореме умножения вероятностей независимых событий, вероятность того, что событие $A$ наступит $k$ раз и $n-k$ раз не наступит, будет равна $p^k\cdot q^ { n-k }$. И таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить $C\_n^k$. Так как, сложные события несовместны, то по теореме о сумме вероятностей несовместных событий, нам надо сложить вероятности всех сложных событий, а их ровно $C\_n^k$. Тогда вероятность появления события $A$ ровно k раз в n испытаниях, есть $P\_n ( { A,,k } )=P\_n ( k )=C\_n^k \cdot p^k\cdot q^ { n-k }$ формула Бернулли.

Пример. Игральная кость подбрасывается 4 раза. Найти вероятность того, что единица появится в половине случаев.

Решение. $A=$ { появление единицы } $P( A )=p=\frac { 1 } { 6 } ,, ,P( { \overline A } )=q=1-\frac { 1 } { 6 } =\frac { 5 } { 6 }$ $P\_4 ( 2 )=C\_4^2 \cdot p^2\cdot q^ { 4-2 } =\frac { 4! } { 2!\cdot 2! } \cdot 6^2\cdot ( { \frac { 5 } { 6 } } )^2=0,115$ Легко видеть, что при больших значениях n достаточно трудно подсчитать вероятность из-за громадных чисел. Оказывается эту вероятность можно посчитать не только с помощью формулы Бернулли.