Теоремы Муавра-Лапласа

Локальная теорема Муавра-Лапласа{ 1730 г. Муавр и Лаплас }

Если вероятность $p$ появлений события $A$ постоянна и $p\ne 0$ и $p\ne 1$, то вероятность $P\_n ( k )$ - того, что событие $A$ появится $k$ раз в $n$ испытаниях, равна приближенно { чем больше $n$, тем точнее } значению функции

$y=\frac { 1 } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { 2\pi } } \cdot e^ { - { x^2 } / 2 } =\frac { 1 } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } \cdot \varphi ( x )$

при $x=\frac { k-n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } }$. Имеются таблицы, где помещены значения функции $\varphi ( x )=\frac { 1 } { \sqrt { 2\cdot \pi } } \cdot e^ { - { x^2 } / 2 }$

итак

$$\begin{equation} P\_n ( k )\approx \frac { 1 } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } \cdot \varphi ( x ),,,где,x=\frac { k-n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } \qquad (2) \end{equation}$$

функция $\varphi ( x )=\varphi ( { -x } )$ -четная.

Пример. Найти вероятность того, что событие $A$наступит ровно 80 раз при 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании $p=0,2$.

Решение. Если $p=0,2$ тогда $q=1-p=1-0,2=0,8$.

$P\_ { 400 } ( { 80 } )\approx \frac { 1 } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } \varphi ( x ),,,где,x=\frac { k-n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } }$ $\begin{array} { l } x=\frac { k-n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } =\frac { 80-400\cdot 0,2 } { \sqrt { 400\cdot 0,2\cdot 0,8 } } =\frac { 80-80 } { \sqrt { 400\cdot 0,16 } } =0 \\ \varphi ( 0 )=0,3989,,,P\_ { 400 } ( { 80 } )\approx \frac { 0,3989 } { 20\cdot 0,4 } =\frac { 0,3989 } { 8 } =0,0498 \\ \end{array}$ >Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Вероятность P наступления события $A$ в каждом испытании постоянна и $p\ne 0$ и $p\ne 1$, тогда вероятность $P\_n ( { k\_1 ,k\_2 } )$ того, что событие $A$ наступит от $k\_ { 1 }$ до $k\_ { 2 }$ раз в $n$ испытаниях, равна

$P\_n ( { k\_1 ,k\_2 } )\approx \frac { 1 } { \sqrt { 2\cdot \pi } } \int\limits\_ { x\_1 } ^ { x\_2 } { e^ { - { z^2 } / 2 } dz } =\Phi ( { x\_2 } )-\Phi ( { x\_1 } )$

где $x\_1 =\frac { k\_1 -n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } , x\_2 =\frac { k\_2 -n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } }$ ,где

$\Phi ( x )=\frac { 1 } { \sqrt { 2\cdot \pi } } \int { e^ { - { z^2 } / 2 } dz }$ -находят по таблицам

$\Phi ( { -x } )=-\Phi ( x )$-нечетная

Нечетная функция. Значения в таблице даны для $x=5$, для $x>5,\Phi ( x )=0,5$

Пример. Известно, что при контроле бракуется 10% изделий. На контроль отобрано 625 изделий. Какова вероятность того, что среди отобранных не менее 550 и не более 575 стандартных изделий?

Решение. Если брака 10%, то стандартных изделий 90%. Тогда по условию, $n=625, p=0,9, q=0,1, k\_1 =550, k\_2 =575$. $n\cdot p=625\cdot 0,9=562,5$. Получим $\begin{array} { l } P\_ { 625 } (550,575)\approx \Phi ( { \frac { 575-562,5 } { \sqrt { 625\cdot 0,9\cdot 0,1 } } } )- \Phi ( { \frac { 550-562,5 } { \sqrt { 626\cdot 0,9\cdot 0,1 } } } )\approx \Phi (1,67)- \Phi (-1,67)=2 \Phi (1,67)=0,9052 \\ \end{array}$