Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности

Будем считать, что производится $n$ независимых испытаний в каждом из которых вероятность появления события $A$ постоянна и равна $р$. Найдем вероятность того, что отклонение относительной частоты $\frac { m } { n }$ от постоянной вероятности $p$ по абсолютной величине не превышает заданного числа $\varepsilon >0$.

$$\begin{equation} P(\left| { \frac { m } { n } -p }\right|\leqslant \varepsilon )\approx 2 \Phi ( { \frac { \varepsilon n } { \sqrt { npq } } } ) \end{equation}$$

Пример. Вероятность того, что на станке-автомате будет отштампован корпус некоторого механического устройства, не удовлетворяющий допуску, равна 0,01. Сколько надо изготовить корпусов, чтобы с вероятностью 0.99 ожидать не превосходящее 0.03 по абсолютной величине отклонение относительной частоты появления нестандартного корпуса от вероятности его появления?

Решение. По условию $p=0,01, q=0,99, \varepsilon =0,03$, следовательно, $P(\left| { \frac { m } { n } -0,01 }\right|\leqslant 0,03)=0,99$. Можно записать $2 \Phi ( { \frac { 0,03n } { \sqrt { n\cdot 0,01\cdot 0,99 } } } )=0,99$. Тогда $\Phi ( { \frac { 0,03n } { \sqrt { n\cdot 0,01\cdot 0,99 } } } )=0,485$.

Из таблицы находим $\Phi ( { 2,58 } )=0,495$. Далее имеем $2,58=\frac { 0,03n } { \sqrt { n\cdot 0,01\cdot 0,99 } }$ отсюда получим $( { \frac { 2,58 } { 0,03 } } )^2=( { \frac { n } { \sqrt { n\cdot 0,01\cdot 0,99 } } } )^2$ или $( { \frac { 2,58 } { 0,03 } } )^2=\frac { n^2 } { n\cdot 0,01\cdot 0,99 }$ или $n=( { \frac { 2,58 } { 0.03 } } )^2\cdot 0,01\cdot 0,99\approx 74$.