Дискретная случайная величина

Случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины

Опр Случайной величиной называют величину, которая в результате испытания примет одно из возможных значений, заранее неизвестное.

Например. Подбрасывается монета. Заранее не известен результат. Выпадения орла или решки - случайно. Случайные величины обозначают большими буквами Х, У:

$X( { x\_1 ,x\_2 ,\ldots x\_n } )- значения,x\_1 \ldots x\_n -$ возможные значения случайной величины.

Имеется три типа случайных величин:*** непрерывные, дискретные, смешанные***.

Опр Дискретной { прерывной } называют случайную величину, которая принимает отдельные изолированные значения. Число случайных величин может быть конечным или бесконечным.

Опр Непрерывной - называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного промежутка.

Опр Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Закон распределения можно задать в виде таблицы:

так как события $х\_ { 1 } ,х\_ { 2 } ,\ldots ,х\_ { n }$ образуют полную группу то $р\_ { 1 } + р\_ { 2 } + \ldots + р\_ { n } = 1$

Пример. Написать закон распределения для суммы выпавших очков при подбрасывании двух игральных костей.

Пояснения к примеру: число благоприятных событий m : $2) \left\{ { 1 } \right.\left. 1 \right\} -всего,1,,$ $3) \left\{ { \begin{array} { l } 2 1 \\ ,1 2 \\ \end{array} } \right\} ,-всего,2,,$ $4) \left\{ { \begin{array} { l } 2 2 \\ 3 1 \\ 1 3 \\ \end{array} } \right\} -всего,3,,$ $5) \left\{ { \begin{array} { l } 1 4 \\ 4 1 \\ 2 3 \\ 3 2 \\ \end{array} } \right\} -всего,4,$ $6) \left\{ { \begin{array} { l } 1 5 \\ 5 1 \\ 2 4 \\ 4 2 \\ 3 3 \\ \end{array} }\right\} -всего,5,,$ $7) \left\{ { \begin{array} { l } 2 5 \\ 5 2 \\ 3 4 \\ 4 3 \\ 6 1 \\ 1 6 \\ \end{array} } \right\} -всего,6,,$ и так далее. Закон распределения имеет вид:

$$\begin{array} { |l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l| } \hline X& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12 \\ \hline p& \frac { 1 } { 36 } & \frac { 2 } { 36 } & \frac { 3 } { 36 } & \frac { 4 } { 36 } & \frac { 5 } { 36 } & \frac { 6 } { 36 } & \frac { 5 } { 36 } & \frac { 4 } { 36 } & \frac { 3 } { 36 } & \frac { 2 } { 36 } & \frac { 1 } { 36 } \\ \hline \end{array}$$

Пример 2. Охотник стреляет в цель до первого попадания, но делает 5-ть выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле 0,8. Построить закон распределения числа произведенных выстрелов.

Решение: Событие $A =$ { попал в цель } , тогда $\bar A =$ { промах } .

• $(\bar A ' A) =$ { попал со второго раза } ,

• $(\bar A ' \bar A ' A) =$ { попал с третьего раза } ,

• $(\bar A ' \bar A ' \bar A ' A) =$ { попал с четвертого раза } ,

• $(\bar A ' \bar A ' \bar A ' \bar A) =$ { попал с пятого раза } .

Подсчитаем вероятности этих событий.

• $P\_ { 1 } (A)= p =0,8$

• $P\_ { 2 } (\bar A ' A) = P(\bar A)\cdot P { A } =p\cdot q=0,8\cdot 0,2=0,16$

• $P\_ { 3 } (\bar A ' \bar A ' A) = P(\bar A)^ { 2 } \cdot P { A } = p\cdot q^ { 2 } =0,8\cdot 0,2^ { 2 } =0,32$

• $P\_ { 4 } (\bar A ' \bar A ' \bar A ' A) = P(\bar A)^ { 3 } \cdot P { A } = p\cdot q^ { 3 } =0,8\cdot 0,2^ { 3 } =0,0064$

• $P\_ { 5 } (\bar A ' \bar A ' \bar A ' \bar A) = P(\bar A)^ { 4 } \cdot =q^ { 4 } =0,2^ { 4 } =0,0016$

Контроль:

$\Sigma p\_ { i } = 0,8+0,16+0,032+0,0064+0,0016=1$

Закон распределения представим в виде таблицы:

$$\begin{array} { |l|l|l|l|l|l| } \hline X& 1& 2& 3& 4& 5 \\ \hline p& p& q p& q^ { 2 } p& q^ { 3 } p^ { } & q^ { 4 } \\ \hline p& 0,8& 0,16& 0,032& 0,0064& 0,0016 \\ \hline \end{array}$$

Функция распределения дискретной случайной величины

Функцией распределения называют функцию $F(x)$, определяющую вероятность того, что случайная величина $X$ в результате испытания примет значение, меньшее $х$, т. е. $F(x)=p(X<x)$. функция распределения д. с. в. строится по ряду распределения. Воспользуемся рядом, полученным в предыдущем примере.

Построим график функции распределения д.с.в. $F(x\_i )=\left\{ { \begin{array} { l } 0:x\in (-\infty , 1) \\ p\_1 =0,8: x\in [,1,,2) \\ p\_1 +p\_2 =0,8+0,16=0,96: x\in [,2,,3) \\ p\_1 +p\_2 +p\_3 =0,8+0,16+0,32=0,992: x\in [,3,,4) \\ p\_1 +p\_2 +p\_3 +p\_4 =0,8+0,16+0,32+0,064=0,9984: x\in [,4,,5) \\ p\_1 +p\_2 +p\_3 +p\_4 +p\_5 =0,8+0,16+0,32+0,064+0,016=1, \\ ,x\in [,5,,\infty ] \\ \end{array} }\right.$ Функция распределения дискретной случайной величины - это ступенчатая разрывная функция.

Свойства функции распределения

1. функция распределения случайной величины есть не отрицательная функция, заключенная между нулем и единицей: $0\leqslant F(x)\leqslant 1$.

2. функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единице т. е. $F(-\infty )=\mathop { \lim } \limits\_ { x\to -\infty } F(x)=0, F(+\infty )=\mathop { \lim } \limits\_ { x\to +\infty } F(x)=1$.

4. Вероятность попадания случайной величины в интервал $[x\_1 ,x\_2 )$ равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т. е. $P(x\_1 \leqslant X<x\_2 )=F(x\_2 )-F(x\_1 )$.

Биномиальное распределение

Если мы подсчитываем вероятность наступления события $k$ раз при $n$ испытаниях по формуле Бернулли $P\_n ( k )=C\_n^k \cdot p^k\cdot q^ { n-k }$ Такое распределение вероятности называется биномиальным, потому что правая часть равенства совпадает с общим членом разложения бинома Ньютона. $( { p+q } )^n=C\_n^n p^n+C\_n^ { n-1 } p^ { n-1 } q+C\_n^ { n-2 } p^ { n-2 } q^2+\ldots +C\_n^k p^kq^ { n-k } +\ldots +C\_n^0 p^0q^0$ > Пример. Монета брошена 2 раза. Написать закон распределения случайной величины $X$ - числа выпадений герба.

Решение: Вероятность появления герба $р = 1/2$, не появления $q = 1/2$. Закон распределения будет иметь вид.

$$\begin{array} { |l|l|l|l| } \hline X& 0& 1& 2 \\ \hline Р\_ { 2 } (k)& С\_ { 2 } ^ { 0 } p^ { 0 } q^ { 2 } & С\_ { 2 } ^ { 1 } p^ { 1 } q^ { 1 } & С\_ { 2 } ^ { 2 } p^ { 2 } q^ { 0 } \\ \hline Р & 0,25& 0,5& 0,25 \\ \hline \end{array}$$

Контроль: $\Sigma р\_ { i } =0,25+0,5+0,25=1$

Распределение Пуассона

Пусть производится n испытаний. Вероятность появления события $A$ постоянна и равна P. Для подсчета вероятности появления события $А$ $k$ раз при $n$ испытаниях $P\_n ( k )$ можно использовать формулу Бернулли или Лапласа { если $n$ большое, $n>100$ } . Но для массовых и редких явлений { когда $n$ велико, а $p$ мало $(p\leqslant 0,1)$ и $np<10$ лучше применять формулу Пуассона.

$P\_n ( k )=\frac { \lambda ^k\cdot e^ { -\lambda } } { k! }$, где $\lambda =np$

$P\_n ( { m\leqslant k } )=e^ { -\lambda } \sum\limits\_ { m=0 } ^k { \frac { \lambda ^m } { m! } }$

Геометрическое распределение

Пусть вероятность появления события $A$ есть $p$. Не появления- $q$ и испытание заканчивается, если только событие $A$ появилось. Пусть в первых $k-1$ испытаниях событие $A$ не появилось, а в $k$ появилось. Тогда вероятность этого сложного события равна $P( { x=k } )=q^ { k-1 } \cdot p$ > Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель 0,6. Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле. $P( { x=3 } )=q^2\cdot p=0,4^2\cdot 0,6=0,096$ >Гипергеометрическое распределение

Рассмотрим задачу: В партии из $N$ деталей имеется $n$ стандартных. Наудачу отбирают $m$ деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных $m$деталей $k$ стандартных.

Решение. Общее число исходов - это есть число способов которыми можно извлечь $m$ деталей из $N$ т.е. $C\_N^m$.

Число благоприятных исходов: будет сложным событием состоящим в том, что из $n$стандартных деталей $k$штук можно взять числом способов $C\_n^k$, а оставшихся $m-k$ нестандартных можно взять из $N-n$ нестандартных числом способов равным $C\_ { N-n } ^ { m-k }$. Тогда число благоприятных исходов есть $C\_n^k \cdot C\_ { N-n } ^ { m-k }$. Вероятность того, что среди отобранных $m$ деталей будет стандартных $k$ есть: $P( k )=\frac { C\_n^k \cdot C\_ { N-n } ^ { m-k } } { C\_N^m }$