Независимые события. Теорема умножения

Опр Событие А называется независимым от события В, если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Свойство независимости взаимно.

Теорема Если случайные события независимы, то вероятность их совмещения есть $P( { AB } )=P( A )\cdot P( B )$ Опр Несколько событий называются попарно-независимыми, если каждые два из них независимы.

Замечание Если события А и В - независимы, то независимы так же события $\overline A$ и $B$ , $A$ и $\overline B$, $\overline A$ и $\overline B$.

Опр Группа событий - $A\_1 A\_2 \ldots A\_n$ называется независимой в совокупности, если любые события этой группы не зависят от произведения любого числа оставшихся $P( { A\_1 ,A\_2 ,\ldots A\_n } )=P( { A\_1 } )\cdot P( { A\_2 } )\cdot \ldots \cdot P( { A\_n } )$

Замечание Понятие о независимости и о несовместности - близки, но это не одно и тоже. Несовместные события $A\cap B=\emptyset$будут независимы, если $P( A )\ne 0$ и $P( B )\ne 0$

Пример: Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй - 0,9, третий - 0.8. Найти вероятность того, что студент сдаст все три экзамена.

Решение. Введем события:

$A\_1 =$ { студент сдаст 1 - й экзамен } ,

$A\_2 =$ { студент сдаст 2 - й экзамен } ,

$A\_3 =$ { студент сдаст 3 - й экзамен } ,

$B =$ { студент сдаст все три экзамена } .

Учитывая, что события $A\_1 ,A\_2 ,A\_3$ независимы получим $B=A\_1 \cdot A\_2 \cdot A\_3$. Вероятность того, что студент сдаст все три экзамена, найдем как вероятность независимых событий $P(B)=P(A\_1 \cdot A\_2 \cdot A\_3 )=P(A\_1 )\cdot P(A\_2 )\cdot P(A\_3 )=0,9\cdot 0,9\cdot 0,8=0,648.$