Поверхностный интеграл: определение и вычисление потока жидкости через поверхность

Как и при изучении криволинейных интегралов, начнём с физической задачи. Пусть через объём $\mathbf { \textit { V } }$ течёт поток жидкости, имеющий скорость $\bar { v } (M)$ в точке $\mathbf { \textit { M } }$. Пусть в $\mathbf { \textit { V } }$ размещена проницаемая { возможно, воображаемая } поверхность $\sigma$. Требуется найти количество $\Pi$ жидкости, протекающей через $\sigma$ за единицу времени. В дальнейшем мы будем называть это количество потоком через поверхность.

В случае, когда $\sigma$ - ограниченная плоская область и $\bar { v } (M)= \overline { const }$, решение очевидно. Это количество равно объёму, ограниченному цилиндрической поверхностью с основанием $\sigma$ и боковой стороной $\bar { v } (M)$. Площадь основания объёма равна $\sigma$ { этим символом мы обозначаем и поверхность, и её площадь } , высота $h=\text{ пр } \_ { \bar { n } } \bar { v } =\vert \bar { v } \vert \cos \varphi =\bar { v } \cdot \bar { n }$, т.е. равна скалярному произведению вектора скорости на единичный вектор нормали. Итак, $\Pi =\bar { v } \bar { n } \sigma$. Заметим, что изобразив на рисунке единичный вектор нормали, мы ввели на поверхности ориентацию. Так, применительно к рисунку справа, мы выбрали верхнюю сторону поверхности; если бы выбрали противоположную нормаль, поток изменил бы знак.

Возможны два способа представления этой величины.

1. Обозначив $f=(\bar { v } \cdot \bar { n } )$, получим $\prod = f\cdot\sigma$

2. Если в некоторой координатной системе $\bar { v } (M)$ имеет координаты $\mathbf { \textit { P } }$, $\mathbf { \textit { Q } }$, $\mathbf { \textit { R } }$, единичный вектор $\bar { n } (M)$ имеет координаты - направляющие косинусы $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$, то $\Pi =\bar { v } \bar { n } \sigma =(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\sigma =P(\cos \alpha \cdot \sigma )+Q(\cos \beta \cdot \sigma )+R(\cos \gamma \cdot \sigma )$.

Чему равно произведение $\cos \gamma \cdot \sigma$? Произведение $\vert \cos \gamma \vert \cdot \sigma$ равно площади $s(D\_ { xy } )$ проекции $D\_ { xy }$ поверхности $\sigma$ на плоскость $\mathbf { \textit { Oxy } }$ { площади всегда положительны } .

Следовательно, $\cos \gamma \cdot \sigma$ равно $s(D\_ { xy } )$, если $\cos \gamma \geqslant 0$ { или, что то же самое, угол $\gamma$ - острый; проекция $\bar { n } (M)$ на орт $\bar { k }$ оси $\mathbf { \textit { Oz } }$ положительна } . Этот случай соответствует верхнему рисунка.

Соответственно, $\cos \gamma \cdot \sigma$ равно $-s(D\_ { xy } )$, если $\cos \gamma <0$ { или, что то же самое, угол $\gamma$ - тупой; проекция $\bar { n } (M)$ на орт $\bar { k }$ оси $\mathbf { \textit { Oz } }$ отрицательна } . Этот случай соответствует нижнему рисунку. Итак, можно записать $R(\cos \gamma \cdot \sigma )=\pm R\cdot s(D\_ { xy } )$.

Аналогично изложенному, $P(\cos \alpha \cdot \sigma )=\pm P\cdot s(D\_ { yz } )$, где следует взять знак "+", если угол $\alpha$ - острый, и "-", если этот угол тупой, и $Q(\cos \beta \cdot \sigma )=\pm Q\cdot s(D\_ { xz } )$, где берётся знак "+", если угол $\beta$ - острый, и "-", если этот угол тупой; $D\_ { yz }$ - проекция $\sigma$ на плоскость $\mathbf { \textit { Oyz } }$, $D\_ { xz }$ - проекция $\sigma$ на плоскость $\mathbf { \textit { Oxz } }$. Окончательно, $\Pi =\pm P\cdot s(D\_ { yz } )\pm Q\cdot s(D\_ { xz } )\pm R\cdot s(D\_ { xy } )$.

Пусть теперь $\sigma$ - произвольная гладкая ограниченная поверхность, и скорость $\bar { v } (M)$ может меняться от точки к точке. Чтобы свести этот случай к предыдущему, разобьём $\sigma$ сетью кривых на $n$ частей $\sigma \_1 ,\sigma \_2 ,\ldots \sigma \_i ,\ldots \sigma \_n$, на каждой из частей $\sigma \_i$ выберем произвольную точку $M\_i$, и, считая, что $\sigma \_i$ - плоская область, скорость $v\bar { ( } M)$ по $\sigma \_i$ постоянна и равна $\bar { v } (M\_i )$ и что ориентация всей части $\sigma \_i$ характеризуется единичным нормальным вектором $\bar { n } (M\_i )$, получим, что через $\sigma \_i$ в единицу времени протекает $\Pi \_i =\bar { v } (M\_i )\bar { n } (M\_i )\sigma \_i$ жидкости { $i=1,2,\ldots ,n$ } .

Как мы видели, это выражение можно представить и в виде $\Pi \_i =\bar { v } (M\_i )\bar { n } (M\_i )\sigma \_i =f(M\_i )\sigma \_i$ { где $f(M\_i )=\left| { \bar { v } (M\_i ) }\right|\cdot \cos \varphi (M\_i ), \varphi (M\_i )$ - угол между $\bar { n } (M\_i )$ и $\bar { v } (M\_i ))$, и в виде $\prod\_ { i } =\pm P(M\_ { i } )\cdot s( { D\_ { i } } \_ { yz } )\pm Q(M\_i)\cdot s( { D\_ { i } } \_ { xz } )\pm R(M\_i)\cdot s( { D\_ { i } } \_ { xy } )$.

Суммируя эти выражения по всем $n$ дугам, получим выражения двух интегральных сумм: $\sum\limits\_ { i=1 } ^n { f(M\_i )\cdot \sigma \_i }$ и $\sum\limits\_ { i=1 } ^n { \left[ { \pm P(M\_i )\cdot s( { D\_i } \_ { yz } )\pm Q(M\_i )\cdot s( { D\_i } \_ { xz } )\pm R(M\_i )\cdot s( { D\_i } \_ { xy } ) }\right] }$.

Переход к пределу в этих интегральных суммах при $\mathop { \max } \limits\_ { i = 1,2,\ldots , n } diam (\sigma i )\rightarrow 0$ приведёт к двум поверхностным интегралам: $\iint\limits\_\sigma { f(M)\cdot d\sigma }$ и $\iint\limits\_\sigma { \pm P(M)ds\_ { yz } \pm Q(M)ds\_ { xz } \pm R(M)ds\_ { xy } }$

Первый из этих интегралов называется поверхностным интегралом первого рода, или ** поверхностным интегралом по площади поверхности**. Во втором интеграле элементы площади в координатных плоскостям принято записывать так, как мы это делали в двойном интеграле: $ds\_ { yz } =dydz,ds\_ { xz } =dxdz,ds\_ { xy } =dxdy$ и опускать знаки перед слагаемыми: $\iint\limits\_\sigma { P(M)dydz+Q(M)dxdz+R(M)dxdy }$ - этот интеграл называется ** поверхностным интегралом второго рода**, или ** поверхностным интегралом по координатам**. Как и криволинейные интегралы двух родов, это разные объекты. Они имеют разные определения и разные свойства. В частности, поверхностный интеграл первого рода не зависит от ориентации поверхности, так как угол $\phi$ входит в подынтегральную функцию в явном виде, в то время как поверхностный интеграл второго рода меняет знак при изменении стороны поверхности { вектор $\bar { n } (M)$ меняется на $-\bar { n } (M)$ } .