Механические и физические приложения поверхностного интеграла первого рода

Масса поверхности

Пусть на поверхности $\sigma$ распределена масса с поверхностной плотностью $\mu (\mathbf { \textit { x } }$,$\mathbf { \textit { y } }$,$\mathbf { \textit { z } } )$. Тогда масса $\mathbf { \textit { m } }$ поверхности равна

$\mathbf { \textit { m } } =\iint\limits\_\sigma { \mu (x,y,z)d\sigma }$.

Статические моменты и центр масс

Статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей$\mathbf { \textit { OYZ } }$, $\mathbf { \textit { OXZ } }$, $\mathbf { \textit { OXY } }$ равны соответственно $M\_ { yz } =\iint\limits\_\sigma { x\mu d\sigma } , M\_ { xz } =\iint\limits\_\sigma { y\mu d\sigma } , M\_ { xy } =\iint\limits\_\sigma { z\mu d\sigma }$

Координаты центра масс поверхности

$\sigma$ равны $\mathbf { \textit { x } } \_ { c } =\frac { M\_ { yz } } { m }$, $\mathbf { \textit { y } } \_ { c } =\frac { M\_ { xz } } { m }$, $\mathbf { \textit { z } } \_ { c } =\frac { M\_ { xy } } { m }$.

Моменты инерции

Момент инерции поверхности$\sigma$ относительно прямой $\mathbf { \textit { L } }$ равен $\mathbf { \textit { I } } \_ { L } =\iint\limits\_\sigma { r\_L^2 \mu d\sigma }$, где $r\_L =\mathbf { \textit { r } } \_ { L } (\mathbf { \textit { x } } ,\mathbf { \textit { y } } ,\mathbf { \textit { z } } )$ - расстояние от точки { $\mathbf { \textit { x } } ,\mathbf { \textit { y } } ,\mathbf { \textit { z } }$ } , лежащей на поверхности $\sigma$, до прямой $\mathbf { \textit { L } }$. В частности, моменты инерции относительно координатных осей $\mathbf { \textit { OX } } ,\mathbf { \textit { OY } }$, $\mathbf { \textit { OZ } }$ равны

$I\_x =\iint\limits\_\sigma { (y^2+z^2)\mu d\sigma }$,

$I\_y =\iint\limits\_\sigma { (x^2+z^2)\mu d\sigma }$,

$I\_z =\iint\limits\_\sigma { (x^2+y^2)\mu d\sigma }$.

Момент инерции относительно точки$\mathbf { \textit { P } } (\mathbf { \textit { x } } \_ { 0 }$,$\mathbf { \textit { y } } \_ { 0 }$,$\mathbf { \textit { z } } \_ { 0 } )$ равен $I\_p =\iint\limits\_\sigma { ((x-x\_0 )^2+(y-y\_0 )^2+(z-z\_0 )^2)\mu (x,y,z)d\sigma }$ Момент инерции относительно начала координатравен $I\_0 =\iint\limits\_\sigma { (x^2+y^2+z^2)\mu (x,y,z)d\sigma =\frac { 1 } { 2 } (I\_x +I\_y +I\_z ). }$ > Пример 1

Найти координаты центра масс полусферы $\mathbf { \textit { x } } ^ { 2 } +\mathbf { \textit { y } } ^ { 2 } +\mathbf { \textit { z } } ^ { 2 } =\mathbf { \textit { R } } ^ { 2 } ,\mathbf { \textit { z } } \leqslant 0$, если поверхностная плотность в каждой точке сферы равна расстоянию от этой точки до оси $\mathbf { \textit { OZ } }$.

Решение

Масса полусферы $\sigma$ равна $\begin{array} { l } M=\iint\limits\_\sigma { \mu d\sigma =\iint\limits\_\sigma { \sqrt { x^2+y^2 } d\sigma = } } \iint\limits\_ { x^2+y^2\leqslant R^2 } { \sqrt { x^2+y^2 } \cdot \sqrt { 1+((\sqrt { R^2-x^2-y^2 } { ) } '\_x )^2+((\sqrt { R^2-x^2-y^2 } { ) } '\_y )^2 } } dxdy= \\ =\iint\limits\_ { x^2+y^2\leqslant R^2 } { \sqrt { x^2+y^2 } \cdot \sqrt { 1+\frac { x^2+y^2 } { R^2-x^2-y^2 } } dxdy= } \iint\limits\_ { x^2+y^2\leqslant R^2 } { \sqrt { x^2+y^2 } \cdot \frac { Rdxdy } { \sqrt { R^2-x^2-y^2 } } =R\int\limits\_0^ { 2\pi } { d\varphi } \int\limits\_0^R { \frac { r^2dr } { \sqrt { R^2-r^2 } } = } } \\ =2\pi R\int\limits\_0^R { \frac { r^2-R^2+R^2 } { \sqrt { R^2-r^2 } } dr=2\pi R\left( { R^2\arcsin \left. { \frac { r } { R } }\right|\_0^R -\int\limits\_0^R { \sqrt { R^2-r^2 } } dr }\right)=\frac { \pi ^2R^3 } { 2 } . } \\ \end{array}$ { Мы воспользовались тем, что интеграл $\int\limits\_0^R { \sqrt { R^2-r^2 } dr }$ равен четверти площади круга радиуса $\mathbf { \textit { R } }$ , т.е. $\frac { \pi R^2 } { 4 }$ } .

Пример 2

Найти массу поверхности $G:\left\{ { { \begin{array}{c} { x^2+y^2+z^2=16 } \\ { y\geqslant 0 } \\ { 0\leqslant z\leqslant 3 } \\ \end{array} } }\right.$ с поверхностной плотностью $\gamma = 2z^ { 2 } + 3$.

Решение

На рассматриваемой поверхности $z=\sqrt { 16-x^2-y^2 }$,

$\frac { \partial z } { \partial x } =-\frac { x } { \sqrt { 16-x^2-y^2 } } ,\frac { \partial z } { \partial y } =-\frac { y } { \sqrt { 16-x^2-y^2 } } .$ Тогда $dS=\sqrt { 1+\frac { x^2 } { 16-x^2-y^2 } +\frac { x^2 } { 16-x^2-y^2 } } dxdy=\frac { 4 } { \sqrt { 16-x^2-y^2 } } dxdy.$ Проекцией $D$ этой поверхности на координатную плоскость $Oxy$ является полукольцо с границами в виде дуг концентрических окружностей радиусов 3 и 4.

Применяя формулу массы поверхности и перехода к полярным координатам, получим: $\begin{array} { c } M=4\iint\limits\_D { \frac { 2(16-x^2-y^2)+3 } { \sqrt { 16-x^2-y^2 } } } dxdy=4\int\limits\_0^\pi { d\varphi } \int\limits\_3^4 { \frac { 2(16-\rho ^2)+3 } { \sqrt { 16-\rho ^2 } } } \rho d\rho = \\ =4\pi \left( { -\frac { 1 } { 2 } }\right)\int\limits\_7^0 { \frac { 2t+3 } { \sqrt t } } dt=2\pi \int\limits\_0^7 { \left( { 2t^ { \frac { 1 } { 2 } } +3t^ { -\frac { 1 } { 2 } } }\right) } dt=2\pi \left( { \frac { 4 } { 3 } t^ { \frac { 3 } { 2 } } +6t^ { \frac { 1 } { 2 } } }\right)\left| { { \begin{array}{c} { ^7 } \\ { \_0 } \\ \end{array} } }\right.= \\ =2\pi \left( { \frac { 28 } { 3 } \sqrt 7 +6\sqrt 7 }\right)=\frac { 92\sqrt 7 } { 3 } \pi . \\ \end{array}$