Поверхностный интеграл первого рода: определение, свойства и их математическое обоснование

Определение поверхностного интеграла первого рода

Пусть в пространстве переменных $\mathbf { \textit { x,y,z } } \mathbf { }$ задана кусочно-гладкая поверхность $\sigma$, на которой определена функция $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } }$,$\mathbf { \textit { y } }$,$\mathbf { \textit { z } } )$.$\mathbf { }$

Разобьём поверхность на $n$ частей $\sigma \_1 ,\sigma \_2 ,\ldots \sigma \_i ,\ldots \sigma \_n$, на каждой из частей $\sigma \_i$ выберем произвольную точку $M\_i (x\_i ,y\_i ,z\_i )$, найдём $f(M\_i )=f(x\_i ,y\_i ,z\_i )$ и площадь части $\sigma \_i$ { которую будем обозначать тем же символом $\sigma \_i )$ и составим интегральную сумму $\sum\limits\_ { i=1 } ^n { f(M\_i )\cdot \sigma \_i }$.

Если существует предел последовательности интегральных сумм при $\mathop { \max } \limits\_ { i=1,2,\ldots n } diam\sigma \_i \to 0$, не зависящий ни от способа разбиения поверхности $\sigma$ на части $\sigma \_i (i=1,2,\ldots ,n)$, ни от выбора точек $M\_i$, то функция $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } }$,$\mathbf { \textit { y } }$,$\mathbf { \textit { z } } )$ называется интегрируемой по поверхности $\sigma$, а значение этого предела называется поверхностным интегралом первого рода, или поверхностным интегралом по площади поверхности и обозначается $\iint\limits\_\sigma { f(M)\cdot d\sigma }$.

Теорема существованияЕсли функция $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } }$,$\mathbf { \textit { y } }$,$\mathbf { \textit { z } } )$ непрерывна на поверхности $\sigma$, то она интегрируема по этой поверхности.

Свойства поверхностного интеграла первого рода

Аналогичны по формулировке и доказательству свойствам рассмотренных ранее интегралов первого рода.

1. Линейность. $\iint\limits\_\sigma { (\lambda ,f+ } \mu ,g)d\sigma =\lambda \iint\limits\_\sigma { fd\sigma } +\mu \iint\limits\_\sigma { gd\sigma }$

2. Аддитивность $\iint\limits\_ { \sigma \_1 \cup \sigma \_2 } { fd\sigma } =\iint\limits\_ { \sigma \_1 } { fd\sigma } \iint\limits\_ { \sigma \_2 } { fd\sigma }$

3. $\iint\limits\_\sigma { d\sigma } =S\_\sigma -$ площадь поверхности.

4. Если $f(x,,y,,z)\geqslant g(x,,y,,z)$, то $\iint\limits\_\sigma { fd\sigma \geqslant \iint\limits\_\sigma { gd\sigma } }$ { если $f\geqslant 0$, то $\iint\limits\_\sigma { fd\sigma } \geqslant 0)$,

5. ** Теорема об оценке**Если $m\leqslant f\left( { x,,y,,z }\right)\leqslant M$, то $mS\_\sigma \leqslant \iint\limits\_\sigma { fd\sigma } \leqslant MS\_\sigma$,

6. ** Теорема о среднем**Пусть функция $f(M)=f(x,,y,,z)$ непрерывна на кусочно-гладкой ограниченной поверхности $\sigma$. Тогда на поверхности найдется точка С, такая что $f(C)=\frac { 1 } { S\_\sigma } \iint\limits\_\sigma { f\left( { x,,y,,z }\right)d\sigma }$

Доказательство

Первые четыре свойства доказываются аналогично подобным свойствам в двойном, тройном интегралах, криволинейном интеграле первого рода { записью соотношений в интегральных суммах и предельным переходом } . Во втором свойстве используется возможность такого разбиения поверхности на две части, чтобы ни один элемент разбиения не содержал граничные точки этих частей в качестве своих внутренних точек.

Теорема об оценке следует из свойств 3, 4.

Теорема о среднем, как и ранее, использует теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши для функций, непрерывных на замкнутых ограниченных множествах.

Седьмое, персональное, свойство - ** независимость поверхностного интеграла первого рода от выбора стороны поверхности**