Поверхностный интеграл второго рода и его свойства

Поверхность $\sigma$ называется ориентируемой, если в каждой ее точке существует вектор нормали к $\sigma$, непрерывная вектор - функция на $\sigma$.

Поверхность $\sigma$ называется ** односторонней**, если при обходе поверхности $\sigma$по контуру $\gamma$ вектор нормали меняет свое направление на противоположное.

Поверхность $\sigma$называется ** двусторонней**, если при обходе поверхности $\sigma$по контуру $\gamma$ вектор нормали не меняет свое направление.

Примером односторонней поверхности является петля Мебиуса, примерами двусторонних поверхностей - плоскость, сфера, гиперболоиды и т.д.

Определение поверхностного интеграла второго рода

Пусть в пространстве переменных $\mathbf { \textit { x,y,z } } \mathbf { }$ задана ограниченная кусочно-гладкая двусторонняя поверхность $\sigma$, на которой введена ориентация { т.е. с помощью единичного вектора нормали в какой-либо точке $\sigma$ задана сторона поверхности } , и на которой определена функция $\mathbf { \textit { R } } (\mathbf { \textit { x } } ,\mathbf { \textit { y } } ,\mathbf { \textit { z } } )$

Разобьём поверхность на $n$ частей $\sigma \_1 ,\sigma \_2 ,\ldots \sigma \_i ,\ldots \sigma \_n$, на каждой из частей $\sigma \_i$ выберем произвольную точку $M\_i (x\_i ,y\_i ,z\_i )$, найдём $R(M\_i )=R(x\_i ,y\_i ,z\_i )$, нормаль $\bar { n } (M\_i )$ в точке $M\_i$ к выбранной стороне поверхности, и площадь $s(D\_ { i,xy } )$ проекции части $\sigma \_i$ на плоскость $\mathbf { \textit { OXY } }$.

В интегральную сумму слагаемое $R(M\_i )\cdot s(D\_ { i,xy } )$ возьмём со знаком "+", если $\cos \gamma \geqslant 0$ { т.е. если угол $\gamma$ между $\bar { n } (M\_i )$ и осью $\mathbf { \textit { Oz } }$ - острый; проекция $\bar { n } (M)$ на орт $\bar { k }$ оси $\mathbf { \textit { Oz } }$ положительна } , и со знаком "-", если $\cos \gamma <0$. В результате интегральная сумма будет иметь вид $\sum\_ { i=1 } ^ { n } \pm R(M\_ { i } )\cdot s(D\_ { i,xy } )$

Если существует предел последовательности интегральных сумм при $\mathop { \max } \limits\_ { i=1,2,\ldots n } diam\sigma \_i \to 0$, не зависящий ни от способа разбиения поверхности $\sigma$ на части $\sigma \_i (i=1,2,\ldots ,n)$, ни от выбора точек $M\_i$, то функция $\mathbf { \textit { R } } (\mathbf { \textit { x } } ,\mathbf { \textit { y } } ,\mathbf { \textit { z } } )$ называется интегрируемой по поверхности $\sigma$, а значение этого предела называется ** поверхностным интегралом второго рода**, или ** поверхностным интегралом по координатам**$\mathbf { \textit { x } } ,\mathbf { \textit { y } }$ и обозначается $\iint\limits\_\sigma { R(M)\cdot dxdy }$.

Теорема существования

Если функция $\mathbf { \textit { R } } (\mathbf { \textit { x } } ,\mathbf { \textit { y } } ,\mathbf { \textit { z } } )$ непрерывна на поверхности $\sigma$, то она интегрируема по этой поверхности.

Если на поверхности $\sigma$, вместе с функцией $\mathbf { \textit { R } } (\mathbf { \textit { x } } ,\mathbf { \textit { y } } ,\mathbf { \textit { z } } )$, определены функции $\mathbf { \textit { P } } (\mathbf { \textit { x } } ,\mathbf { \textit { y } } ,\mathbf { \textit { z } } )$ и$\mathbf { \textit { Q } } (\mathbf { \textit { x } } ,\mathbf { \textit { y } } ,\mathbf { \textit { z } } )$, то, так же, как и интеграл $\iint\limits\_\sigma { R(M)\cdot dxdy }$, определяются интегралы $\iint\limits\_\sigma { P(M)\cdot dydz }$ и $\iint\limits\_\sigma { Q(M)\cdot dxdz }$; в приложениях, как мы видели из рассмотренной в начале раздела физической задачи, обычно рассматривается сумма этих интегралов, которая обозначается $\iint\limits\_\sigma { P(M)\cdot dydz+Q(M)\cdot dxdz+R(M)\cdot dxdy }$.

Запись поверхностного интеграла второго рода

Запишем вектор перемещений частиц и нормаль в точке $M(x, y, z)$, выделяя скалярные компоненты векторов

$\vec { a } \left( M \right)=P(x,,y,,z)\vec { i } +Q(x,,y,,z)\vec { j } +R(x,,y,,z)\vec { k }$,

$\vec { n } \left( M \right)=\cos \alpha ,\vec { i } +\cos \beta \vec { j } +\cos \gamma \vec { k }$

$\vec { a } \left( M \right)\cdot \vec { n } \left( M \right)=P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma$

$\iint\limits\_\sigma { \vec { a } \cdot \vec { n } d\sigma } =\iint\limits\_\sigma { (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )d\sigma =\pm \iint\limits\_\sigma { Pdydz } \pm \iint\limits\_\sigma { Qdxdz } \pm \iint\limits\_\sigma { Rdxdy } }$

$d\sigma \cos \alpha =\pm dydz, d\sigma \cos \beta =\pm dxdz, d\sigma \cos \gamma =\pm dxdy.$

Знак "+" выбирается, если угол между нормалью к поверхности и осью $OX$ в первом интеграле, $OY$ во втором, $OZ$ в третьем острый, знак "-" выбирается, если угол тупой. В самом деле, в поверхностных интегралах площади элементов поверхности положительны, а знаки "+" или "-" компенсируют знак косинуса угла между нормалью и координатной осью. При переходе от поверхностных интегралов к двойным одна из координат подставляется из уравнения поверхности, чтобы точка $(x, y, z)$ находилась на поверхности $\sigma$.

Свойства поверхностного интеграла второго рода

Для этого интеграла, как и для криволинейного интеграла второго рода, имеет смысл формулировать следующие свойства:** линейность**, ** аддитивность и зависимость поверхностного интеграла от выбора стороны поверхности: при изменении ориентации поверхности интеграл меняет знак**

Т.е. любой поверхностный интеграл второго рода меняет знак при перемене стороны поверхности, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, поверхностный интеграл от суммы двух и более функций равен сумме поверхностных интегралов от этих функций, если поверхность разбита на конечное число частичных поверхностей, интеграл по всей поверхности равен сумме интегралов по частичным поверхностям.

Если $S$ - цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси $OZ$, то $\iint\limits\_S { R(x,y,z)dxdy } =0$. В случае, если образующие поверхности параллельны осям $OX$ и $OY$, то равны нулю соответствующие составляющие поверхностного интеграла второго рода.

Пример 1

Найти поток радиуса-вектора через полную поверхность тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью $x + y + z = 1$

Поток радиус-вектора через координатные плоскости нулевой, так как на них радиус-вектор точки лежит в координатной плоскости и ортогонален нормали к координатной плоскости, т.е. $\vec { a } \cdot \vec { n } =0$.

Вычислим поток через грань тетраэдра, лежащую в плоскости $x + y + z =1$. Он и будет суммарным потоком, так как поток через остальные грани нулевой. Для этой грани $\vec{n} = \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \vec{a} = \vec{r} = \left( x, y, z \right)$

Поток равен $\prod=\iint\limits\_\Delta { \vec { a } \cdot \vec { n } d\sigma =\iint\limits\_\Delta { \frac { 1 } { \sqrt 3 } } } \left( { x+y+z }\right)d\sigma =\frac { 1 } { \sqrt 3 } \iint\limits\_\Delta { d\sigma =\frac { 1 } { \sqrt 3 } } \frac { \sqrt 3 } { 2 } =\frac { 1 } { 2 }$

Поток равен $\prod=\iint\limits\_\Delta { \vec { a } \cdot \vec { n } d\sigma } =\frac { 1 } { \sqrt 3 } \frac { \sqrt 3 } { 2 } =\frac { 1 } { 2 }$.

Вычислим поток через двойные интегралы проектированием на координатные плоскости. Поток радиус-вектора через координатные плоскости нулевой. Тогда

$\prod=\iint\limits\_\Delta { \vec { a } \cdot \vec { n } d\sigma } =\iint\limits\_ { D\_ { yz } } { xdydz } +\iint\limits\_ { D\_ { xz } } { ydxdz } +\iint\limits\_ { D\_ { xy } } zdxdy=3\iint\limits\_ { D\_ { xy } } { zdxdy } =3\iint\limits\_ { D\_ { xy } } { z\left( { x,,y }\right)dxdy } =\\=3\int\limits\_0^1 { (\int\limits\_0^ { 1-x } { (1-x-y)dy)dx=3\int\limits\_0^1 { ((1-x)^2-\frac { 1 } { 2 } (1-x)^2)dx=\frac { 3 } { 2 } \int\limits\_0^1 { \left( { x-1 }\right)^2dx } =\frac { 1 } { 2. } } } }$.

Получили тот же результат.