Поверхностный интеграл: односторонние и двусторонние поверхности, ориентация поверхности

Поверхность может быть односторонней и двусторонней. Простой пример модели односторонней поверхности - лист Мёбиуса, который получается, если взять узкую длинную полоску бумаги и склеить её узкие торцы, перекрутив полоску один раз. В том, что у полученной поверхности одна сторона, можно убедиться, если начать закрашивать её в какой-нибудь цвет, не отрывая кисть от бумаги и не пересекая границ. В результате будет окрашен весь лист Мёбиуса. Мы будем рассматривать только двусторонние поверхности.

Поверхность называется гладкой, если в каждой её точке существует касательная плоскость, непрерывно меняющаяся вдоль поверхности. Поверхность называется ** кусочно-гладкой**, если она состоит из нескольких гладких частей, примыкающим друг к другу по гладким или кусочно-гладким кривым. Так, плоскость - гладкая поверхность; поверхность куба - кусочно-гладка.

Дадим формальное определение односторонней и двусторонней поверхностей. Пусть дана гладкая поверхность $\sigma$, и на ней произвольно выбрана точка $\mathbf { \textit { M } }$. Из двух возможных направлений нормали в этой точке выберем одно и зафиксируем его. Характеризовать это направление будем единичным вектором нормали $\bar { n } (M)$. Возьмём замкнутый контур $\mathbf { \textit { C } }$, проходящий через точку $\mathbf { \textit { M } }$, целиком лежащий в $\sigma$ и не пересекающий её границы, и будем двигаться по контуру, восстанавливая в каждой точке нормаль так, чтобы она непрерывно получалось из $\bar { n } (M)$. Если для любого такого контура и любой точки М мы вернёмся в М с исходным направлением нормали, то поверхность $\sigma$ называется ** двусторонней**. Если хотя бы для одного контура мы вернёмся в исходную точку с противоположным направлением нормали, то поверхность называется ** односторонней**.

Задать ориентацию поверхности{ выбрать определённую сторону поверхности } означает выбрать в каждой точке $\sigma$ один из двух возможных векторов нормали $\bar { n } (M)$ так, чтобы он непрерывно менялся от точки к точке. Для этого достаточно определить нормаль $\bar { n } (M\_0 )$ в какой-либо одной точке $M\_0 \in \sigma$; во всех остальных точках $\mathbf { \textit { M } }$ направления нормали $\bar { n } (M)$ должны браться так, чтобы они получались непрерывным переносом из $\bar { n } (M)$ вдоль какого-нибудь пути $\mathop { M\_0 M } \limits^\cup$. Согласно определению двусторонней поверхности, мы гарантированно придём в точку $M$ с одним и тем же направлением нормали при любом пути $\mathop { M\_0 M } \limits^\cup$.