Распределение хи - квадрат или распределение Пирсона

Пусть $X\_i =( { i=1,2,\ldots ,k } )$ нормальные независимые случайные величины, причём математическое ожидание каждой из них равно 0, среднее квадратичное отклонение = 1. Тогда сумма квадратов этих величин

$$\begin{equation} \sum\limits\_ { i=1 } ^k { X\_i^2 =\chi ^2( k ) } \qquad (1) \end{equation}$$

распределена по закону $\chi^2$ с $k$ степенями свободы.

Если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например $\sum { x\_i =n\overline x }$, { где $\overline x-$ среднее значение случайной величины } , то число степеней свободы $k=n-1$

Число $k$ является параметром $\chi ^2( k )$ распределения. Из определения следует, что $\chi ^2( k )\geqslant 0$.

Почему $k-$ число степеней свободы?

Число степеней свободы определяют как разность между числом суммируемых случайных величин и числом линейных связей, ограничивающих свободу этих величин. Т.к. в сумме { 1 } слагаемые независимы, то число степеней свободы равно числу слагаемых.

Плотность этого распределения

$f( x )=\left\{ { { \begin{array}{c} { 0,,при,x\leqslant 0 } \\ { \frac { 1 } { 2^ { \frac { k } { 2 } } \Gamma ( { \frac { k } { 2 } } ) } \cdot e^ { -\frac { x } { 2 } } x^ { \frac { k } { 2 } -1 } } \\ \end{array} } }\right.$, при $x>0$

где $\Gamma ( x )=\int\limits\_0^\infty { t^ { x-1 } e^ { -t } dt } -$ гамма функция. В частности $\Gamma (n+1)=n!$

Видно, что $k$ - параметр $\chi ^2$ распределения. С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

Кривые $\chi ^2( k )-$ называются кривыми Пирсона. Значения $\chi ^2( k )-$ даны в таблице.

Дисперсия $D( { \chi ^2( k ) } )=2k$, если $\chi ^2( { k\_1 } )$ и $\chi ^2( { k\_2 } )$ независимы, то $\chi ^2( { k\_1 } )+\chi ^2( { k\_2 } )=\chi ^2( { k\_1 +k\_2 } )$