Понятие события, операции над событиями

Понятие события

Событие является первоначальным понятием в ** Т.В.** Под событием понимается результат некоторого эксперимента. ** Т.В.** интересуется только тем, произошло событие или нет.

События можно разделить на три класса.

1. Достоверное событие - всегда происходит в эксперименте - $\Omega$.

2. Невозможное событие - $\emptyset$- никогда не происходит.

3. Случайное событие - в одних и тех же условиях может происходить, а может не происходить, обозначается: $A=\left\{ { расшифровка }\right\}$

Например: эксперимент: подбрасываем монеты, результат эксперимента - случайное событие

$A=$ { монета упала гербом } ,

$B=$ { монета упала решкой } ,

$C=$ { монета упала ребром } .

В ** Т.В.** событие и эксперимент не разделяют.

Опр Совокупность всех событий для данного эксперимента называется пространством элементарных событий. { Оно может быть конечным или бесконечным } .

Операции над событиями

Опр Произведением событий $A$ и $B$ называется событие С которое происходит тогда когда происходит и $A$ и $B$, обозначается: $C=A\cap B$.

Опр Произведением группы из n - событий - $A\_1 ,,,A\_2 \ldots A\_n$ есть событие $A$, обозначается $A=A\_1 \cap A\_2 \cap A\_3 \ldots A\_n$.

Опр Суммой событий $A$ и $B$ называется третье событие С которое происходит при наступлении хотя бы одного из событий $A$ или $B$, обозначается $C=A\cup B$.

Опр Суммой группы событий $A\_1 \ldots A\_n$ называется событие $C=A\_1 \cup A\_2 \cup \ldots \cup A\_n$.

Опр Разностью событий $A$ и $B$ называется третье событие С которое происходит тогда когда $A$ происходит, а $B$ не происходит: $C=A / { \vphantom { A B } } B$.

Опр Событие $\overline A$ называется противоположным событию $A$, если оно происходит тогда, когда $A$ не происходит.

Опр Говорят, что событие $A$ влечет событие $B$, если при наступлении события $A$ обязательно происходит событие $B$, обозначается: $A\subset B$.

Опр События $A$ и $B$ называются равносильными или тождественными, если $A\subset B$ и $B\subset A$ т.е. при наступлении одного, второе обязательно происходит.

Опр События $A$ и $B$ называются несовместными, если они одновременно происходить не могут $A\cap B=\emptyset$.

Опр Группа событий называется полной, если хотя бы одно из событий происходит обязательно $A\_1 \cup A\_2 \cup A\_3 \cup \ldots \cup A\_n =\Omega$

Опр Полная группа событий называется полной группой попарно-несовместных событий, если любые два события этой группы одновременно произойти не могут.

Геометрическая интерпретация операций над событиями

Пусть событие $A$ - { выбрали случайные точки, они попали в круг } , $B$ - { точки попали в квадрат }

Свойства операций над событиями

1. $A\cap A=A$

2. $A\cap \overline A =\emptyset$

3. $A\cap \Omega =A$

4. $A\cap \emptyset =\emptyset$

5. $A\cap B=B\cap A$

6. $A\cap ( { B\cap C } )=( { A\cap B } )\cap C$

7. $A\cup A=A$

8. $A\cup \overline A =\Omega$

9. $A\cup \Omega =\Omega$

10. $A\cup \emptyset =A$

11. $A\cup B=B\cup A$

12. $A\cup ( { B\cup C } )=( { A\cup B } )\cup C$

13. $A\cap ( { B\cup C } )=( { A\cap B } )\cup ( { A\cap C } )$

14. $A\cup ( { B\cap C } )=( { A\cup B } )\cap ( { A\cup C } )$

Формулы Де Моргана.

15. $\overline { A\cup B } =\overline A \cap \overline B$

16. $\overline { A\cap B } =\overline A \cup \overline B$