Плотность распределения

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Опр Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины $X$ называют функцию $f( x )-$ первую производную от функции распределения $F( x )$

$$\begin{equation} { F } '( x )=f( x ) \end{equation}$$

Следовательно, функция распределения $F( x )$ является первообразной для функции плотности распределения вероятностей $f( x )$.

Теорема Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение принадлежащее интервалу $( { a,b } )$ равна определенному интегралу от плотности.

$$\begin{equation} P( { a\leqslant X<b } )=\int\limits\_a^b { f( x )dx } \end{equation}$$

Геометрически этот результат можно трактовать так: вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение принадлежащее интервалу $( { a,b } )$ равна площади криволинейной трапеции.

Нахождение функции распределения по известной плотности распределения

Зная плотность распределения вероятностей $f( x )$ можно найти функцию распределения $F( x )$ по формуле:

$$\begin{equation} F( x )=\int\limits\_ { -\infty } ^x { f( x )dx } \end{equation}$$

Пример. Найти функцию распределения по данной плотности и построить график.

$f(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } x = 1 \\ \frac{1}{2}, & \text{если } 1 < x \leqslant 3 \\ 0, & \text{если } x > 3 \\ \end{cases}$

Решение. Построим график функции плотности распределения вероятностей.

$F( x )=\int\limits\_ { -\infty } ^x { f( x )dx }$

Воспользуемся формулой

• при $x\leqslant 1$ из условия $f( x )=0,\Rightarrow F( x )=0$

• при $,1<x\leqslant 2,, f( x )=\frac { 1 } { 2 }$, тогда

$F( x )=\int\limits\_ { -\infty } ^x { f( x )dx } =\int\limits\_ { -\infty } ^1 { 0dx } +\int\limits\_1^x { \frac { 1 } { 2 } dx } =\frac { 1 } { 2 } x\left| { \_ { \_1 } ^ { ^x } }\right.=\frac { x-1 } { 2 }$

если $x>3$, тогда $F( x )=\int\limits\_ { -\infty } ^x { f( x )dx } =\int\limits\_ { -\infty } ^1 { 0dx } +\int\limits\_1^3 { \frac { 1 } { 2 } dx } +\int\limits\_3^x { 0dx } =\frac { x } { 2 } \left| { \_ { \_1 } ^ { ^3 } }\right.=1.$ Итак

$F(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } x\leqslant 1 \\ \frac{x-1}{2}, & \text{если } 1 < x \leqslant 3 \\ 1, & \text{если } x > 3 \\ \end{cases}$

Построим график функции распределения

Свойства плотности распределения

1). Плотность распределения неотрицательная функция $f( x )\geqslant 0$.

Доказательство Известно, что функция распределения $F( x )-$ неубывающая, следовательно, ее производная ${ F } '( x )=f( x )$ неотрицательная функция.

Геометрически это означает, что график $f( x )$ расположен выше оси OX или на оси OX.

График $f( x )$плотности распределения называется кривой распределения.

2). Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от $( { -\infty ,\infty } )$ равен 1.

$$\begin{equation} \int\limits\_ { -\infty } ^\infty { f( x ) } dx=1 \end{equation}$$

Если $X$ задана на $( { a,b } )$, то $\int\limits\_a^b { f( x )dx=1 }$

Геометрически это означает, что площадь под кривой распределения равна 1.