Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Пусть непрерывная случайная величина $X$ задана плотностью распределения $f( x )$. Все возможные значения случайной величины $X$ принадлежат промежутку $\left[ { a,b }\right]$.

Опр. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины $X$ называется определенный интеграл.

$$\begin{equation} M( X )=\int\limits\_a^b { xf( x )dx } \end{equation}$$

Если $X$ принимает значения на $( { -\infty ,\infty } )$, то

$$\begin{equation} M( x )=\int\limits\_ { -\infty } ^\infty x f( x )dx \end{equation}$$

ОпрДисперсией непрерывной случайной величины $X$ называется математическое ожидание квадрата отклонения.

$$\begin{equation} D( x )=\int\limits\_a^b { ( { X-M( x ) } )^2f( x )dx } \end{equation}$$

Если $X$ принимает значения на $( { -\infty ,\infty } )$

$$\begin{equation} D( x )=\int\limits\_ { -\infty } ^\infty { ( { x-M( x ) } )^2f( x )dx } \end{equation}$$

ОпрСреднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины

$$\begin{equation} \sigma ( x )=\sqrt { D( x ) } \end{equation}$$

Замечание. Для вычисления дисперсии удобной является формула

$$\begin{equation} D( x )=\int\limits\_a^b { x^2f( x )dx } -M^2( x ) \end{equation}$$

Пример. Найти $M( x )$ и $D( x )$, если с.в. $X$ задана функцией распределения $M( X )=\int\limits\_a^b { xf( x )dx }$

$F( x )=\left\{ { { \begin{array}{c} { 0,при,x\leqslant 0 } \\ { x,при,0<x\leqslant 1 } \\ { 1,при,x>1 } \\ \end{array} } }\right.$ Найдем $f( x )=F'( x )=\left\{ { { \begin{array}{c} { 0,x\leqslant 0 } \\ { 1,0<x\leqslant 1 } \\ { 0,x>1 } \\ \end{array} } }\right.$ $M( x )=\int\limits\_0^1 { x\cdot 1dx } =\frac { x^2 } { 2 } \left| { \_0^1 =\frac { 1 } { 2 } }\right.$ $D( x )=\int\limits\_0^1 { x^2\cdot 1dx } -M^2( x )=\frac { x^3 } { 3 } \left| { \_0^1 -\frac { 1 } { 4 } =\frac { 1 } { 3 } -\frac { 1 } { 4 } =\frac { 1 } { 12 } }\right.$