Криволинейный интеграл первого рода: основы и примеры применения

Определение криволинейного интеграла первого рода

Пусть в пространстве переменных $\mathbf { \textit { x,y,z } } \mathbf { }$ задана кусочно-гладкая кривая $L=\mathop { AB } \limits^\cup$, на которой определена функция $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } } ,\mathbf { \textit { y } } ,\mathbf { \textit { z } } ).\mathbf { }$

Разобьём кривую точками $A\_0 =A,;A\_1 ,;A\_2 ,\ldots ,A\_n =B$ на $n$ частей, на каждой из дуг $\mathop { A\_ { i-1 } A\_i } \limits^\cup$ выберем произвольную точку $M\_i (x\_i ,y\_i ,z\_i )$, найдём $f(M\_i )=f(x\_i ,y\_i ,z\_i )$ и длину $\Delta l\_i$ дуги $\mathop { A\_ { i-1 } A\_i } \limits^\cup$, и составим интегральную сумму $\sum\limits\_ { i=1 } ^n { f(M\_i )\cdot \Delta l\_i }$.

Если существует предел последовательности интегральных сумм при $\mathop { \max } \limits\_ { i=1,2,\ldots n } \Delta l\_i \to 0$, не зависящий ни от способа разбиения кривой на дуги $\mathop { A\_ { i-1 } A\_i } \limits^\cup ;(i=1,2,\ldots ,n)$, ни от выбора точек $M\_i$, то функция $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } }$,$\mathbf { \textit { y } }$,$\mathbf { \textit { z } } )$ называется интегрируемой по кривой $L$, а значение этого предела называется криволинейным интегралом первого рода, или криволинейным интегралом по длине дуги от функции $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } }$,$\mathbf { \textit { y } }$,$\mathbf { \textit { z } } )$ по кривой $L$, и обозначается

$\int\limits\_L { f(M)\cdot dl }$ или $\int\limits\_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { f(M)\cdot dl }$.

Теорема существования

Если функция $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } }$,$\mathbf { \textit { y } }$,$\mathbf { \textit { z } } )$ непрерывна на кусочно-гладкой кривой $L$, то она интегрируема по этой кривой.

Случай замкнутой кривой

В этом случае в качестве начальной и конечной точки можно взять произвольную точку кривой. Замкнутую кривую в дальнейшем будем называть ** контуром **и обозначать буквой $\mathbf { \textit { С } }$. То, что кривая, по которой вычисляется интеграл, замкнута, принято обозначать кружочком на знаке интеграла: $\oint\limits\_С { f(M)\cdot dl }$.

Свойства криволинейного интеграла первого рода

1 } . ** Линейность**

а } свойство суперпозиции $\int\limits\_L { (f(x,,y,,z)+g(x,,y,,z))dl=\int\limits\_L { f(x,,y,,z)dl } +\int\limits\_L { g(x,,y,,z)dl } }$

б } свойство однородности $\int\limits\_L { \lambda ,f(x,,y,,z)dl } =\lambda \int\limits\_L { f(x,,y,,z)dl }$.

Доказательство:

Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Так как в интегральной сумме число слагаемых конечно, перейдем к интегральным суммам для правых частей равенств. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат.

2 } . ** Аддитивность**

Если $L=L\_1 \cup L\_2 \mathbf { , }$ то $\int\limits\_L { f(x,,y,,z)dl } \mathbf { = } \int\limits\_ { L\_1 } { f(x,,y,,z)dl } +\int\limits\_ { L\_3 } { f(x,,y,,z)dl }$

Доказательство:

Выберем разбиение области $L$ так, чтобы ни один из элементов разбиения { первоначально и при измельчении разбиения } не содержал одновременно как элементы $L\_ { 1 }$, так и элементы $L\_ { 2 }$. Это можно сделать по теореме существования { замечание к теореме } . Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.

3 } . $\int\limits\_L { dl } =L$. Здесь $L$ - длина дуги $L$.

4 } . Если на дуге $L$ выполнено неравенство $f(x,y,,z)\geqslant g(x,y,,z)$, то

$\mathbf { } \int\limits\_L { f(x,,y,,z)dl\geqslant \int\limits\_L { g(x,,y,,z)dl } }$

Доказательство:

Запишем неравенство для интегральных сумм и перейдем к пределу. Заметим, что, в частности, возможно $g(x,y,,z)\equiv 0$

5 } . ** Теорема об оценке**

Если существуют константы $m,M$, что $\forall \left( { x,y,,z }\right)\in L\quad m\leqslant f(x, { \kern 1pt } y,,z)\leqslant M$, то $mL\leqslant \int\limits\_L { f(x,,y,,z)\leqslant ML }$ Доказательство:

Интегрируя неравенство $m\leqslant f(x, { \kern 1pt } y,,z)\leqslant M$ { свойство 4 } , получим

$\int\limits\_L { mdl } \leqslant \int\limits\_L { f(x,,y,,z)dl } \leqslant \int\limits\_L { Mdl }$.

По свойству 1 константы $m,M$ можно вынести из-под интегралов. Используя свойство 3, получим искомый результат.

6 } . ** Теорема о среднем { значении интеграла }**

Существует точка $c(x\_c ,y\_c ,,z\_c )\in L$, что $f(c)=\frac { 1 } { L } \int\limits\_L { f(x,,y,,z)dl }$

Доказательство:

Так как функция $f(x,y,,z)$ непрерывна на замкнутом ограниченном множестве $L$, то существует ее нижняя грань $\mu =\inf \_L f(x,y,,z)$ и верхняя грань ${ \rm M } =\sup \_L f(x,y,,z)$.

Выполнено неравенство $\forall \left( { x,y,,z }\right)\in L\quad \mu ,L\leqslant \int\limits\_L { f(x,,y,,z)dl } \leqslant ML$.

Разделив обе части на $L$, получим $\quad \mu \leqslant \frac { 1 } { L } \int\limits\_L { f(x,,y,,z)dl } \leqslant M$.

Но число $\quad \frac { 1 } { L } \int\limits\_L { f(x,,y,,z)dl }$ заключено между нижней и верхней гранью функции. Так как функция $f(x,y,,z)$ непрерывна на замкнутом ограниченном множестве $L$, то в некоторой точке $с\in L$ функция должна принимать это значение.

Следовательно, $f(c)=\frac { 1 } { L } \int\limits\_L { f(x,,y,,z)dl }$.

Для этого интеграла имеют место все шесть свойств, справедливых для определённого, двойного, тройного интеграла, от ** линейностидо ** теоремы о среднем. Однако для этого интеграла справедливо и седьмое, персональное свойство:

Независимость криволинейного интеграла первого рода от направления прохождения кривой:

$\int\limits\_ { \mathop { AB } \limits^\cup } { f(M)\cdot dl } =\int\limits\_ { \mathop { BA } \limits^\cup } { f(M)\cdot dl }$.

Доказательство:

Интегральные суммы для интегралов, стоящих в правой и левой частях этого равенства, при любом разбиении кривой и выборе точек $M\_i$ совпадают { всегда длина дуги $\mathop { A\_ { i-1 } A\_i } \limits^\cup \quad \Delta l\_i \geqslant 0$ } , поэтому равны их пределы при $\mathop { \max } \limits\_ { i=1,2,\ldots n } \Delta l\_i \to 0$.