Замена переменных в тройном интеграле

Теорема о замене переменных в тройном интеграле

Пусть в пространстве $\mathbf { \textit { Ouvw } }$ задана область $\mathbf { \textit { G } }$, и пусть отображение $F(M)=M^\ast$ преобразует эту область в область $\mathbf { \textit { V } }$ пространства $\mathbf { \textit { Oxyz } } .$ Будем считать, что отображение $\mathbf { \textit { F } }$ задаётся функциями $F:\left[{ \begin{array} { l } x=x(u,v,w) \\ y=y(u,v,w) \\ z=z(u,v,w) \\ \end{array} }\right.$.

Пусть:

1. $\mathbf { \textit { F } }$ взаимно однозначно отображает $\mathbf { \textit { G } }$ на $\mathbf { \textit { V } }$;

2. Функции $\mathbf { \textit { x } } (\mathbf { \textit { u,v,w } } )\mathbf { \textit { , y } } (\mathbf { \textit { u,v,w } } ), \mathbf { \textit { z(u,v,w) } }$ непрерывно дифференцируемы на $\mathbf { \textit { G } }$ { имеют непрерывные частные производные } ;

3. Якобиан $J(u,v,w)=\frac { \partial (x,y,z) } { \partial (u,v,w) } =\left| { \begin{array} { l } \frac { \partial x } { \partial u } \quad \frac { \partial y } { \partial u } \quad \frac { \partial z } { \partial u } \\ \frac { \partial x } { \partial v } \quad \frac { \partial y } { \partial v } \quad \frac { \partial z } { \partial v } \\ \frac { \partial x } { \partial w } \quad \frac { \partial y } { \partial w } \quad \frac { \partial z } { \partial w } \\ \end{array} }\right|$ не обращается в нуль на $\mathbf { \textit { G } } .$

Тогда $\iiint\limits\_V { f(x,y,z)dxdydz } =\iiint\limits\_G { f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))\cdot \left| { J(u,v,w) }\right|\cdot dudvdw }$.

**Доказательство **этой теоремы аналогично доказательству теоремы о замене переменных в двойном интеграле.

Рассмотрим наиболее часто употребляемые криволинейные системы координат в пространстве - цилиндрические и сферические.

Тройной интеграл в цилиндрических координатах

В этой координатной системе положение точки в пространстве характеризуется тремя числами: $\mathbf { \textit { r } }$, $\varphi$ и $\mathbf { \textit { z } }$, где $\mathbf { \textit { r } }$ и $\varphi$ - полярные координаты проекции $\mathbf { \textit { M } } ^ { 1 }$

точки $\mathbf { \textit { М } }$ на плоскость$\mathbf { \textit { Оху } }$, $\mathbf { \textit { z } }$ - аппликата точки $\mathbf { \textit { M } }$. Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым: $\begin{array} { l } x=r\cos \varphi , \\ y=r\sin \varphi , \\ z=z. \\ \end{array}$ Вычислим якобиан этого преобразования: $J(r,\varphi ,z)=\left| { \begin{array} { l } \frac { \partial x } { \partial r } \quad \frac { \partial y } { \partial r } \quad \frac { \partial z } { \partial r } \\ \frac { \partial x } { \partial \varphi } \quad \frac { \partial y } { \partial \varphi } \quad \frac { \partial z } { \partial \varphi } \\ \frac { \partial x } { \partial z } \quad \frac { \partial y } { \partial z } \quad \frac { \partial z } { \partial z } \\ \end{array} }\right|=\left| { \begin{array} { l } \cos \varphi \quad -r\sin \varphi \quad 0 \\ \sin \varphi \quad ;;r\cos \varphi \quad 0 \\ ;;0;;;;;;\quad 0;;;;;\quad 1 \\ \end{array} }\right|=r$, следовательно, $\iiint\limits\_V { f(x,y,z)dxdydz } =\iiint\limits\_V { f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi ,z)\cdot r\cdot drd\varphi dz }$.

Тройной интеграл в сферических координатах

В этих координатах положение точки $\mathbf { \textit { M } }$ в пространстве характеризуется тремя числами: $\mathbf { \textit { r } }$, $\varphi$ и $\theta$, где $\mathbf { \textit { r } }$ - длина радиуса-вектора точки $\mathbf { \textit { M } }$, $\varphi$ - полярный угол проекции $\mathbf { \textit { M } } ^ { 1 }$точки $\mathbf { \textit { М } }$ на плоскость$\mathbf { \textit { Оху } }$, $\theta$ - угол между радиусом-вектором точки $\mathbf { \textit { M } }$ и осью $\mathbf { \textit { Oz } }$. Формулы перехода от сферических координат к декартовым: $\begin{array} { l } x=r\sin \theta \cos \varphi , \\ y=r\sin \theta \sin \varphi , \\ z=r\cos \theta . \\ \end{array}$

Вычислим якобиан этого преобразования:

$=\left| { \begin{array} { l } ;;\sin \theta \cos \varphi \quad ;;;;;\sin \theta \sin \varphi ;;\quad \cos \theta \\ -r\sin \theta \sin \varphi \quad ;;r\sin \theta \cos \varphi ;;;;;\quad 0 \\ ;;r\cos \theta \cos \varphi \quad r\cos \theta \sin \varphi ;;-r\sin \theta \\ \end{array} }\right|=r^2\sin \theta \left| { \begin{array} { l } \sin \theta \cos \varphi ;;;;\sin \theta \sin \varphi ;;\quad \cos \theta \\ ;-\sin \varphi \quad ;;;;\cos \varphi ;;;;;;;;;\quad 0 \\ \cos \theta \cos \varphi \quad \cos \theta \sin \varphi ;;-\sin \theta \\ \end{array} }\right|= \\ =r^2\sin \theta \left[ { \cos \theta (-\cos \theta \sin ^2\varphi -\cos \theta \cos ^2\varphi )-\sin \theta (\sin \theta \cos ^2\varphi +\sin \theta \sin ^2\varphi ) }\right]=-r^2\sin \theta ,$ следовательно, $\iiint\limits\_V { f(x,y,z)dxdydz } =\iiint\limits\_ { V\_ { r,\varphi ,\theta } } { f(r\sin \theta \cos \varphi ,r\sin \theta \sin \varphi ,r\cos \theta )\cdot r^2\sin \theta \cdot drd\varphi d\theta }$.