Свойства тройного интеграла: анализ основных характеристик и их математическое обоснование

По смыслу и доказательству полностью аналогичны свойствам определённого и двойного интегралов.

Линейность

Если функции $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } }$, $\mathbf { \textit { y } }$, $\mathbf { \textit { z } } )$, $\mathbf { \textit { g } } (\mathbf { \textit { x } }$, $\mathbf { \textit { y } }$, $\mathbf { \textit { z } } )$ интегрируемы по области$\mathbf { \textit { V } }$, то их линейная комбинация $\alpha f(x,y,z)+\beta g(x,y,z)$ тоже интегрируема по $\mathbf { \textit { V } }$, и $\iiint\limits\_V { ,\left[ { \alpha f(P)+\beta g(P) }\right]dv } = \alpha \iiint\limits\_V { f(P)dv } +\beta \iiint\limits\_V { g(P)dv }$.

Аддитивность

Если область $\mathbf { \textit { V } }$ является объединением двух областей $\mathbf { \textit { V } } \_ { 1 }$ и $\mathbf { \textit { V } } \_ { 2 }$, не имеющих общих внутренних точек, то $\iiint\limits\_V { f(P)dv } =\iiint\limits\_ { V\_1 } { f(P)dv } +\iiint\limits\_ { V\_2 } { f(P)dv }$.

Интеграл от единичной функции по области

$\mathbf { \textit { V } } \quad \textbf { равен объёму этой области: } \iiint\limits\_V { dv } =v(V)\textbf { . }$

Интегрирование неравенств

Если в любой точке $P\in V$ выполняется неравенство $f(P)\leqslant g(P)$, и функции $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { P } } )$, $\mathbf { \textit { g } } (\mathbf { \textit { P } } )$ интегрируемы по области $\mathbf { \textit { V } }$, то $\iiint\limits\_V { f(P)dv } \leqslant \iiint\limits\_V { g(P)dv }$.

Теоремы об оценке интеграла

Если функция $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { P } } )$ интегрируема по области $\mathbf { \textit { V } }$, и для $\forall P\in V$ выполняется $m\leqslant f(P)\leqslant M$, то $m\cdot v(V)\leqslant \iiint\limits\_V { f(P)dv } \leqslant M\cdot v(V)$.

Если функция $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { P } } )$ интегрируема по области$\mathbf { \textit { V } }$, то $\left| { \iiint\limits\_V { f(P)dv } }\right|\leqslant \iiint\limits\_V { ,\vert f(P)\vert dv }$.

Теорема о среднем

Если функция $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { P } } )$ непрерывна на области $\mathbf { \textit { V } }$, то существует точка $P\_0 \in V$, такая что $\iiint\limits\_V { f(P)dv } =f(P\_0 )\cdot v(V)$.