Определение тройного интеграла. Теорема существования тройного интеграла

Пусть в пространстве $\mathbf { \textit { Oxyz } }$ задана ограниченная замкнутая область { объём } $\mathbf { \textit { V } }$, и пусть на области $\mathbf { \textit { V } }$ определена функция $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } }$, $\mathbf { \textit { y } }$, $\mathbf { \textit { z } } )$.

Разобьём область $\mathbf { \textit { V } }$ произвольным образом на $\mathbf { \textit { n } }$ подобластей $\mathbf { \textit { V } } \_ { 1 }$, $\mathbf { \textit { V } } \_ { 2 }$, $\mathbf { \textit { V } } \_ { 3 } , { \ldots } , \mathbf { \textit { V } } \_ { n }$, { не имеющих общих внутренних точек). Символом $\mathbf { \textit { v } } (\mathbf { \textit { V } } \_ { i } )$ будем обозначать объём области $\mathbf { \textit { V } } \_ { i }$; символом $\mathbf { \textit { d } }$ обозначим наибольший из диаметров областей $\mathbf { \textit { V } } \_ { i }$: $d=\mathop { \max } \limits\_ { i=1,2,\ldots ,n } diam(V\_i )$.

В каждой из подобластей $\mathbf { \textit { V } } \_ { i } \mathbf { \textit { (i } } = 1,2, { \ldots } ,\mathbf { \textit { n } } )$ выберем произвольную точку $\mathbf { \textit { P } } \_ { i } = (\mathbf { \textit { x } } \_ { i } , \mathbf { \textit { y } } \_ { i } , \mathbf { \textit { z } } \_ { i } )$, вычислим в этой точке значение функции $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { P } } \_ { i } ) = \mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } } \_ { i }$, $\mathbf { \textit { y } } \_ { i }$, $\mathbf { \textit { z } } \_ { i } )$, и составим интегральную сумму $\sum\limits\_ { i=1 } ^n { f(P\_i )\cdot v(V\_i ) }$.

Если существует предел последовательности интегральных сумм при $d=\mathop { \max } \limits\_ { i=1,2,\ldots ,n } diam(V\_i )\to 0$, не зависящий ни от способа разбиения области $\mathbf { \textit { V } }$ на подобласти $\mathbf { \textit { V } } \_ { i }$, ни от выбора точек $\mathbf { \textit { P } } \_ { i }$, то функция $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } } , \mathbf { \textit { y } } , \mathbf { \textit { z } } )$ называется интегрируемой по области $\mathbf { \textit { V } }$, а значение этого предела называется тройным интегралом от функции $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } } , \mathbf { \textit { y } } , \mathbf { \textit { z } } )$по области $\mathbf { \textit { V } }$ и обозначается $\iiint\limits\_V { f(P)dv }$.

Если расписать значение $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { P } } )$ через координаты точки $\mathbf { \textit { P } }$, и представить $\mathbf { \textit { dv } }$ как $\mathbf { \textit { dv = dx dy dz } }$, получим другое обозначение тройного интеграла: $\iiint\limits\_V { f(x,y,z)dxdydz }$. Итак, кратко,

$\iiint\limits\_V { f(x,y,z)dxdydz } =\iiint\limits\_V { f(P)dv } =\mathop { \lim } \limits\_ { \begin{array} { l} d\to 0 \\ (n\to \infty ) \\ \end{array} } \sum\limits\_ { i=1 } ^n { f(x\_i ,y\_i ,z\_i )\cdot v(V\_i ) }$.

Теорема существования тройного интеграла

Если подынтегральная функция $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } }$, $\mathbf { \textit { y } }$, $\mathbf { \textit { z } } )$ непрерывна на области $\mathbf { \textit { V } }$, то она интегрируема по этой области.