Начальные и центральные теоретические моменты

Опр Начальным моментом порядка $k$ случайной величины $X$ называется математическое ожидание величины $X^k$ для дискретной случайной величины

$$\begin{equation} \nu \_k =M( { X^k } ) \qquad (1) \end{equation}$$

и для непрерывной величины $\nu \_k =\int\limits\_ { -\infty } ^\infty { x^kf( x )dx }$

при $k=1$ получаем $\nu \_1 =M( X )$ математическое ожидание случайной величины $Х$

При $k=2$ получаем $\nu \_2 =M( { X^2 } )$ математическое ожидание $X^2$.

Используя эти моменты можно формулу дисперсии записать в виде:

$$\begin{equation} D( X )=M( { X^2 } )-( { M( X ) } )^2=\nu \_2 -\nu \_1 ^2 \qquad (2) \end{equation}$$

Кроме моментов случайной величины $X$ рассмотрим моменты отклонения $X-M( X )$

Опр. Центральным моментом порядка $k$ случайной величины $X$ наз. математическое ожидание величины $( { X-M( X ) } )^k$ { отклонения }

$$\begin{equation} M\_k =M( { X-M( X ) } )^k \qquad (3) \end{equation}$$

при $k=1$ имеем:

$$\begin{equation} M\_1 =M( { X-M( X ) } )=0 \qquad (4) \end{equation}$$

Математическое ожидание отклонения

при $k=2$ имеем:

$$\begin{equation} M\_2 =M( { X-M( X ) } )^2=D( X ) \qquad (5) \end{equation}$$

Момент называется центральным, т.к. отклонение от { центра } - математического ожидания.

Для непрерывной величины $M\_k =\int\limits\_ { -\infty } ^\infty { ( { X\_i -M( X ) } )^kf( x )dx }$ сравнивая { 2 } и { 5 } получим: $\nu \_2 -\nu \_1^2 =M\_2$ исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, получим $\begin{array} { l } M\_3 =\nu \_3 -3\nu \_2 \nu \_1 +2\nu \_1 ^3 \\ M\_4 =\nu \_4 -4\nu \_3 \nu \_1 +6\nu \_2 \nu \_1 ^2-3\nu \_1^4 \\ \end{array}$ Моменты более высоких порядков применяются редко.