Группировка наблюдений

Группировка наблюдений

При большом числе наблюдений, $n>80$, статистический материал, помещённый в таблицу, трудно обозрим. Поэтому составляется группировка. Это делается так: Находится

1. размах выборки,

2. шаг выборки,

3. интервалы { разбиение на интервалы } ,

4. центры интервалов,

5. абсолютные частоты,

6. относительные частоты.

7. Чтобы найти размах выборки надо найти максимальные и минимальные значения вариант. Разность между ними называется размахом выборки $x\_ { \max } -x\_ { \min } =\Delta$.

8. Определим шаг выборки. Для этого надо разделить $\Delta$ на $k$ - частей, где $k$ должно быть не более $20\div 25$ и не менее $6\div 10$. Обычно $6\div 10\leqslant k\leqslant 20\div 25$. Иногда $k$ считают по формуле $\log \_2 n+1\approx k$, где $n$ - объём выборки. Шаг выборки вычисляется по формуле $h=\frac { \Delta } { k }$.

9. Разбить на интервалы шириной $h$ по формуле $[x\_i ,,,x\_i +h)$.

10. Найти центры интервалов по формуле $x\_i =\frac { x\_i +x\_ { i+1 } } { 2 }$.

11. Найти абсолютные частоты.

Для этого нужно подсчитать число выборочных значений $n\_i$ величины $X$, попадающей в каждый интервал. Существует контроль $\sum { n\_i =n }$.

6. Подсчитать относительные частоты по формуле $W\_i =\frac { n\_i } { n }$.

7. Выписать полученные интервалы или центры интервалов, выборочные значения и относительные частоты в таблицу.

8. Представить выборку графически. Графическим представлением является полигон и гистограмма.

Полигон и гистограмма

Определение: Полигоном абсолютных частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки $( { x\_1 ,n\_1 } ),( { x\_2 ,n\_2 } ),( { x\_3 ,n\_3 } )\ldots ( { x\_k ,n\_k } )$.

На оси абсцисс откладывают варианты $x\_i$, на оси ординат - соответствующие им частоты $n\_i$.

Определение: Полигоном относительных частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки $( { x\_1 ,w\_1 } ),( { x\_2 ,w\_2 } ),( { x\_3 ,w\_3 } )\ldots ( { x\_k ,w\_k } )$. Для построения полигона относительных частот на оси $OX$ откладывают варианты $x\_i$, а на оси ординат соответствующие им относительные частоты $w\_i$. Точки $( { x\_i ,w\_i } )$ соединяют прямыми и получают полигон относительных частот.

Определение: Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями служат интервалы длиной $h$, а высотами являются плотности частоты $\frac { n\_i } { h }$. Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т. е. объёму выборки.

Определение: Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников с основаниями длиной $h$ и высотами $\frac { W\_i } { h }$ { плотность относительных частот } . Площадь гистограммы равна сумме всех относительных частот, т. е. 1

Замечание: Полигон и гистограмма строятся для того, чтобы получить представление о форме функции плотности распределения.

Пример группировки

Составить группировку и представить её графически, разбив на шесть интервалов

$\mathbf { 16,,,, } \mathbf { 17,,,, } \mathbf { 9,,,, } \mathbf { 13,,,, } \mathbf { 21,,,, } \mathbf { 11,,,, } \mathbf { 7,,,, } \mathbf { 19,,,, } \mathbf { 5,,,, } \mathbf { 20 }$

$\mathbf { 17,,,, } \mathbf { 5,,,,7,,,, } \mathbf { 18,,,, } \mathbf { 11,,,, } \mathbf { 4,,,,6,,,, } \mathbf { 22,,,,21,,,, } \mathbf { -1 }$

$\mathbf { 15,,,, } \mathbf { 22,,,, } \mathbf { 19,,,, } \mathbf { 23,,,, } \mathbf { 15 }$

Объём выборки $n=25$

1. $x\_ { \max } =23,x\_ { \min } =-1,\Delta =x\_ { \max } -x\_ { \min } =23+1=24$.

2. Разделим $\Delta$ на шесть частей $h=\frac { 24 } { 6 } =4$.

Вывод: Будем иметь шесть интервалов, ширина интервала $h=4$.

3. Найдём выборочные значения $n\_i$ в каждом интервале. Контроль $\sum { n\_i =n }$

4. Подсчитаем относительные частоты $W\_i =\frac { n\_i } { n }$ 5) Подсчитаем плотность относительных частот $f( x )=\frac { W\_i } { h } .$ 6) Строим полигон и гистограмму.

Занесем полученные значения в таблицу.

$$\begin{array} { |l|l|l|l|l|l|l| } \hline №& Интервал& Выборочные~частоты~ n\_i & x\_i -центр~интервала& W\_i =\frac { n\_i } { n } & f( x )=\frac { W\_i } { h } & \frac { n\_i } { h } \\ \hline 1& [ -1,3 ]& 1& 1& 0,04& 0,01& 0,25 \\ \hline 2& ( 3,7 ]& 6& 5& 0,24& 0,06& 1,5 \\ \hline 3& ( 7,11 ]& 3& 9& 0,12& 0,03& 0,75 \\ \hline 4& ( 11,15 ]& 3& 13& 0,12& 0,03& 0,75 \\ \hline 5& ( 15,19 ]& 6& 17& 0,24& 0,06& 1,5 \\ \hline 6& ( 19,23 ]& 6& 21& 0,24& 0,06& 1,5 \\ \hline \sum & & \sum { n\_i =n } =25& & \sum { W\_i =1 } & &\\ \hline \end{array}$$

Гистограмма частот n$\_ { i }$

полигон частот $n\_i$ для средины интервалов

Гистограмма плотности частот $\frac { n\_i } { h }$

Гистограмма плотности относительных частот $\frac { W\_i } { h }$

Эта величина носит вероятностный характер.

По полученной гистограмме выдвигается гипотеза о равномерном распределении.