Соленоидальное векторное поле

Определение соленоидального поля

Векторное поле $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ называется соленоидальным в области $\mathbf { \textit { V } }$, если во всех точках этой области $div\bar { a } (M)=0$.

Согласно этому определению, поле не может иметь в области $\mathbf { \textit { V } }$ источников и стоков, таким свойством обладает магнитное поле соленоида, что и объясняет происхождение термина.

Соленоидально поле ротора любого достаточно гладкого поля: $div,rot\bar { a } (M)=\nabla \cdot \left[ { \nabla \times \bar { a } }\right]=0$.

Самостоятельно доказать это свойство в координатной форме.

Свойства соленоидального поля

1. Поток соленоидального векторного поля через поверхность $\sigma$, ограничивающую область $V\_\sigma \in V$, равен нулю. Это прямое следствие формулы Остроградского.

2. Верно и обратное утверждение: равенство нулю потока через любую замкнутую поверхность $\sigma$ достаточно для соленоидальности поля $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$.

Действительно, в разделе ** Инвариантное определение дивергенции**мы доказали, что $div\bar { a } (M)=\mathop { \lim } \limits\_ { \sigma \to M } \frac { \Pi } { V } =\mathop { \lim } \limits\_ { \sigma \to M } \frac { \mathop { { \iint } } \limits\_\sigma { \bar { a } \bar { n } d\sigma } } { V } \mathbf { , }$ и, так как $\mathop { { \iint } } \limits\_\sigma { \bar { a } \bar { n } d\sigma } =0$, то $div\bar { a } (M)=0$.

1. Пусть в $\mathbf { \textit { V } }$ имеется изолированный источник { или сток } поля. Если поле $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ соленоидально, то его поток через любую замкнутую поверхность $\sigma$, содержащую этот источник имеет одно и то же значение. Фраза "в $\mathbf { \textit { V } }$ имеется изолированный источник { или сток } поля" означает, что область $\mathbf { \textit { V } }$, в которой поле соленоидально, неодносвязна из $\mathbf { \textit { V } }$ выколота точка, в которой находится источник. Так, поле электрической напряжённости, создаваемое зарядом $\mathbf { \textit { q } } , \bar { E } =\frac { q } { r^3 } \bar { r }$, соленоидально всюду, кроме точки $r=0$, в которой расположен источник.

2. Поток соленоидального векторного поля через любое поперечное сечение векторной трубки один и тот же. Это следует из того, что поток через боковую поверхность трубки равен нулю.