Нахождение потенциала

В предыдущем разделе мы доказали, что если выполняются условия потенциальности поля $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$, то $\varphi (M)=\int\limits\_ { \mathop { M\_0 M } \limits^\cup } { \bar { a } d\bar { r } }$, где $M\_0 \in V$ - фиксированная точка. Обычно, если в точке $\mathbf { \textit { O } } (0,0,0)$ поле не имеет особенностей, то в качестве точки $M\_0 (x\_0 ,y\_0 ,z\_0 )$ берётся именно эта точка, если в этой точке поле не определено, берётся другая точка.

Интегрирование ведут по пути, состоящим из отрезков, параллельных координатным осям. В результате получим $\varphi (M)=\int\limits\_ { x\_0 } ^x { P(x,y\_0 ,z\_0 )dx } +\int\limits\_ { y\_0 } ^y { Q(x,y,z\_0 )dy } +\int\limits\_ { z\_0 } ^z { R(x,y,z)dz }$.

Пример

Доказать, что поле $\bar { a } (x,y,z)=\frac { y\cos (xy) } { z } \bar { i } +\frac { x\cos (xy) } { z } \bar { j } -\frac { \sin (xy) } { z^2 } \bar { k }$ потенциально и найти потенциал этого поля.

Решение

Мы будем доказывать, что это поле потенциально в любой односвязной области $\mathbf { \textit { V } }$, не содержащей точку $\mathbf { \textit { O } } (0,0,0)$. Условие безвихревости поля $\bar { a }$:

$rot\bar { a } (M)=\left| { \begin{array} { l } ,\bar { i } ,,,,\bar { j } ,,,\bar { k } \\ \frac { \partial } { \partial x } ,,\frac { \partial } { \partial y } ,,\frac { \partial } { \partial z } \\ ,P,,Q,,,R \\ \end{array} }\right|=\left( { \frac { \partial R } { \partial y } -\frac { \partial Q } { \partial z } }\right)\bar { i } +\left( { \frac { \partial P } { \partial z } -\frac { \partial R } { \partial x } }\right)\bar { j } +\left( { \frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } }\right)\bar { k } =0$ в координатной форме сводится к равенствам $\frac { \partial R } { \partial y } =\frac { \partial Q } { \partial z } , \frac { \partial P } { \partial z } =\frac { \partial R } { \partial x } , \frac { \partial Q } { \partial x } =\frac { \partial P } { \partial y }$.

В нашем поле $P(x,y,z)=\frac { y\cos (xy) } { z } , Q(x,y,z)=\frac { x\cos (xy) } { z } ,R(x,y,z)=-\frac { \sin (xy) } { z^2 }$. Находим производные:

$\frac { \partial R } { \partial y } =-\frac { x\cos (xy) } { z^2 }$,

$\frac { \partial Q } { \partial z } =-\frac { x\cos (xy) } { z^2 } =\frac { \partial R } { \partial y }$,

$\frac { \partial P } { \partial z } =-\frac { y\cos (xy) } { z^2 }$,

$\frac { \partial R } { \partial x } =-\frac { y\cos (xy) } { z^2 } =\frac { \partial P } { \partial z }$,

$\frac { \partial Q } { \partial x } =\frac { \cos (xy)-xy\sin (xy) } { z }$,

$\frac { \partial P } { \partial y } =\frac { \cos (xy)-xy\sin (xy) } { z } =\frac { \partial Q } { \partial x }$ Потенциальность поля доказана.

Ищем потенциал. Интеграл $\varphi (M)=\int\limits\_ { \mathop { M\_0 M } \limits^\cup } { \bar { a } d\bar { r } }$ вычисляем по изображённому на рисунке пути, отправляясь от точки $\mathbf { \textit { M } } \_ { 0 }$(0,0,1). $\varphi (x,y,z)=\int\limits\_0^x { \frac { 0\cdot \cos (x\cdot 0) } { 1 } dx } +\int\limits\_0^y { \frac { x\cdot \cos (xy) } { 1 } dy } -\int\limits\_1^z { \frac { \sin (xy) } { z^2 } dz } = =\left. { \sin (xy) }\right|\_0^y +\left. { \frac { \sin (xy) } { z } }\right|\_1^z =\sin (xy)+\left[ { \frac { \sin (xy) } { z } -\sin (xy) }\right]=\frac { \sin (xy) } { z }$.

Если бы мы взяли в качестве точки $\mathbf { \textit { M } } \_ { 0 }$ другую точку $\mathbf { \textit { M } } \_ { 1 }$, то получили бы выражение, отличающееся на некоторую постоянную { более точно, на $C=\int\limits\_ { \mathop { M\_0 M\_1 } \limits^\cup } { \bar { a } d\bar { r } } )$, поэтому $\varphi (x,y,z)= \frac { \sin (xy) } { z } +C$.