Линейный интеграл и циркуляция векторного поля

Определение линейного интеграла

Пусть в пространственной области $\mathbf { \textit { V } }$ определено непрерывное векторное поле $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } ), \mathbf { \textit { L } }$ - гладкая кривая, расположенная в $\mathbf { \textit { V } }$. Линейным интегралом поля $\bar { a }$ вдоль линии $\mathbf { \textit { L } }$ называется криволинейный интеграл по длине дуги от скалярного произведения $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ на единичный касательный вектор $\bar { \tau } (\mathbf { \textit { M } } ): W=\int\limits\_L { \bar { a } (M)\cdot \bar { \tau } (M),ds }$.

Как и поток, этот интеграл может представляться различным образом. Так, если учесть, что произведение $\bar { \tau } (M)$ на $ds$ даёт изменение радиуса-вектора точки $\mathbf { \textit { M } }$, т.е. $\bar { \tau } \cdot ds=d\bar { r } =dx\bar { i } +dy\bar { j } +dz\bar { k }$,то $W=\int\limits\_L { \bar { a } (M)d\bar { r } }$ и $W=\int\limits\_L { Pdx+Qdy+Rdz }$. Следовательно, линейный интеграл может быть выражен и через линейный интеграл по координатам.

Физический смысл линейного интеграла:

если $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ - силовое поле, то $W$ равен работе этого поля при перемещении материальной точки вдоль линии $\mathbf { \textit { L } }$ см. раздел ** Тройные интегралы**.

Основные свойства линейного интеграла.

1). Линейность

$\int\limits\_L { \left( { С\_1 \bar { a } \_1 +С\_2 \bar { a } \_2 }\right)\bar { \tau } ,ds } =С\_1 \int\limits\_L { \bar { a } \_1 \bar { \tau } ,ds } +С\_2 \int\limits\_L { \bar { a } \_2 \bar { \tau } ,ds }$,

2). Аддитивность

$\int\limits\_ { L\_1 \cup L\_2 } { \bar { a } \cdot \bar { \tau } ,ds } =\int\limits\_ { L\_1 } { \bar { a } \cdot \bar { \tau } ,ds } +\int\limits\_ { L\_2 } { \bar { a } \cdot \bar { \tau } ,ds }$. Направление на каждой из частей $\mathbf { \textit { L } } \_ { 1 }$ и $\mathbf { \textit { L } } \_ { 2 }$ должно быть таким же, как и на всей кривой $L\_1 \cup L\_2$,

3). При изменении направления вдоль $\mathbf { \textit { L } }$ линейный интеграл меняет знак.

Это следует из того, что вектор $\bar { \tau } (\mathbf { \textit { M } } )$ меняется на - $\bar { \tau } (\mathbf { \textit { M } } )$.

4). Если $\mathbf { \textit { L } }$ - векторная линия поля и движение происходит в направлении поля, то $\mathbf { \textit { W } } >0$. В этом случае вектор $\bar { \tau } (\mathbf { \textit { M } } )$ коллинеарен $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$, поэтому $\bar { a } \cdot \bar { \tau } =\mathop { \text{ пр } \bar { a } } \limits\_ { \bar { \tau } } =\vert \bar { a } \vert >0$.

Вычисление линейного интеграла

Как и любой криволинейный интеграл, линейный интеграл вычисляется сведением к определённому интегралу по параметру на кривой, обычно вычисляют криволинейный интеграл $W=\int\limits\_L { Pdx+Qdy+Rdz }$. Если кривая при параметрическом задании имеет вид

$L:{ { \begin{array} { l } x=x(t), \\ y=y(t), \\ z=z(t), \\ \end{array}} t\_0 \leqslant t\leqslant t\_k }$,

где $x(t),,y(t),,z(t)$- непрерывно дифференцируемые функции, то $W=\int\limits\_L { P(x,y,z)\cdot dx+Q(x,y,z)\cdot dt+R(x,y,z)\cdot dz } = \int\limits\_ { t\_0 } ^ { t\_k } { \left[ { P(x(t),y(t),z(t))\cdot { x } '(t)+Q(x(t),y(t),z(t))\cdot { y } '(t)+R(x(t),y(t),z(t))\cdot { z } '(t) }\right]dt } .$

Направление интегрирования определяется направлением движения по кривой.

Циркуляция векторного поля

Циркуляцией называется линейный интеграл векторного поля по замкнутой кривой $\mathbf { \textit { C } }$:*** Ц***$=\oint\limits\_C { \bar { a } \cdot d\bar { r } }$.

Обычно говорят, что циркуляция характеризует вращательную способность поля. Имеется в виду следующее. Если векторные линии поля замкнуты, то, как мы видели, циркуляция по ним в направлении поля положительна, при этом в гидродинамической интерпретации частицы жидкости крутятся по этим замкнутым линиям. Пусть теперь линии тока произвольны, вообразим в объёме $\mathbf { \textit { V } }$ замкнутый контур $\mathbf { \textit { C } }$. Если в результате движения жидкости этот контур будет вращаться, то поле обладает вращательной способностью, абсолютная величина циркуляции будет определять угловую скорость вращения (чем больше $\vert$ Ц$\vert$, тем выше скорость), знак циркуляции покажет, совпадает ли направление вращения с направлением интегрирования.