Поток векторного поля через поверхность

В разделе Поверхностные интегралы мы рассмотрели задачу о вычислении количества жидкости, протекающей через определённую сторону двусторонней поверхности $\sigma$ за единицу времени, и получили, что это количество выражается поверхностным интегралом $\iint\limits\_\sigma { \left( { \bar { v } (M)\cdot \bar { n } (M) }\right)d\sigma }$. Имеется целый ряд физических процессов, которые описываются аналогичными поверхностными интегралами, например, магнитная индукция.

Среди других достоинств математики её мощь заключается, в частности, в способности исследовать процессы в самых разных областях естествознания, абстрагируясь от их физической сущности; приведённые выше примеры показывают естественность введения понятия потока векторного поля через поверхность.

Определение потока векторного поля через поверхность

Пусть $\sigma$ - двусторонняя гладкая поверхность, расположенная в области $\mathbf { \textit { V } }$, в которой задано поле $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$. Фиксируем выбором нормали $\bar { n } (M)$ одну из двух сторон поверхности $\sigma$.

Потоком векторного поля $\bar { a } \mathbf { ( } \mathbf { \textit { M } } )$ через поверхность $\sigma$ называется поверхностный интеграл первого рода по $\sigma$ от скалярного произведения $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ на единичный вектор нормали $\bar { n } (M)$ к выбранной стороне поверхности: $\prod=\iint\limits\_\sigma { \bar { a } (M)\bar { n } (M)d\sigma }$.

Существуют различные формы записи этого интеграла. Так как $\bar { a } \cdot \bar { n } =пр\_ { \bar { n } } \bar { a } =a\_n$, поток может обозначаться $\prod=\iint\limits\_\sigma { a\_n (M)d\sigma }$. Иногда произведение $\bar { n } d\sigma$ обозначают $\overline { d\sigma }$ и называют этот вектор вектором элементарной площадки, тогда $\prod=\iint\limits\_\sigma { \bar { a } (M)\overline { d\sigma } }$.

Если связать $\overline { d\sigma }$ с проекциями $\sigma$ на координатные плоскости: $\begin{array} { l } \overline { d\sigma } =\bar { n } d\sigma =(\cos \alpha \bar { i } +\cos \beta \bar { j } +\cos \gamma \bar { k } )d\sigma =(\cos \alpha d\sigma )\bar { i } +(\cos \beta d\sigma )\bar { j } +(\cos \gamma d\sigma )\bar { k } = \\ =\pm dydz\cdot \bar { i } \pm dxdz\cdot \bar { j } \pm dxdy\cdot \bar { k } , \\ \end{array}$ и использовать координатную запись поля $\bar { a } (M)=P(M)\bar { i } +Q(M)\bar { j } +R(M)\bar { k }$, то скалярное произведение в координатной форме даст $\prod=\iint\limits\_\sigma { P(M)dydz+Q(M)dxdz+R(M)dxdy }$, т.е. поток может быть выражен и через поверхностный интеграл второго рода. В таком интеграле необходимо выбирать знак каждого слагаемого в зависимости от знака соответствующей координаты нормали.