Дифференциальные характеристики векторного поля

Дивергенция векторного поля

Пусть в некоторой системе координат $\bar { a } (M)=P(M)\bar { i } +Q(M)\bar { j } +R(M)\bar { k }$. Скалярная величина { скалярное поле } $\left( { \frac { \partial P } { \partial x } +\frac { \partial Q } { \partial y } +\frac { \partial R } { \partial z } }\right)(M)$ называется дивергенцией поля в точке $\mathbf { \textit { M } }$ и обозначается $div\bar { a } (M)$:

$div\bar { a } (M) = \left( { \frac { \partial P } { \partial x } +\frac { \partial Q } { \partial y } +\frac { \partial R } { \partial z } }\right)(M)$

С помощью оператора ** набла**дивергенция определяется как скалярное произведение $\nabla \cdot \bar { a } =\left( { \frac { \partial } { \partial x } \bar { i } +\frac { \partial } { \partial y } \bar { j } +\frac { \partial } { \partial z } \vec { k } }\right)\cdot \left( { P\bar { i } +Q\bar { j } +R\vec { k } }\right)=\frac { \partial P } { \partial x } +\frac { \partial Q } { \partial y } +\frac { \partial Q } { \partial z }$.

В дальнейшем мы увидим, что дивергенция инвариантна относительно системы координат и обозначает плотность источников поля, а сейчас сформулируем

Свойства дивергенции:

1. $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ - постоянное векторное поле, то $div\bar { a } =0$;

2. $div\left( { С\_1 \bar { a } \_1 +С\_2 \bar { a } \_2 }\right)=С\_1 div\bar { a } \_1 +С\_2 div\bar { a } \_2$ { или $\nabla \left( { С\_1 \bar { a } \_1 +С\_2 \bar { a } \_2 }\right)=С\_1 \nabla \bar { a } \_1 +С\_2 \nabla \bar { a } \_2 )$;

3. Если $\mathbf { \textit { u } }$ - скалярное поле, то $div\left( { u\cdot \bar { a } }\right)=\bar { a } \cdot gradu+udiv\bar { a }$ { или $\nabla \left( { u\bar { a } }\right)=\bar { a } \nabla u+u\nabla \bar { a } )$. В частности, если $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ - постоянное векторное поле, то $\nabla \left( { u\bar { a } }\right)=\bar { a } \nabla u=\bar { a } \cdot gradu$.

Докажем третье свойство

$div\left( { u\cdot \bar { a } }\right)=div(\left( { (uP)\bar { i } +(uQ)\bar { j } +(uR)\bar { k } }\right) = \frac { \partial (Pu) } { \partial x } +\frac { \partial (Qu) } { \partial y } +\frac { \partial (Ru) } { \partial z } =\left( { \frac { u\partial P } { \partial x } +\frac { P\partial u } { \partial x } }\right)+\left( { \frac { u\partial Q } { \partial y } +\frac { Q\partial u } { \partial y } }\right)+\left( { \frac { u\partial R } { \partial z } +\frac { R\partial u } { \partial z } }\right) = \\ = u\left( { \frac { \partial P } { \partial x } +\frac { \partial Q } { \partial y } +\frac { \partial R } { \partial z } }\right)+ \frac { P\partial u } { \partial x } +\frac { Q\partial u } { \partial y } +\frac { R\partial u } { \partial z } = udiv\bar { a } +\bar { a } \cdot gradu$.

Пример 1

Если $\bar { a } =(x^3-yz+\cos (xyz))\bar { i } -xy^2z^3\bar { j } +arctg\frac { xy } { z } \bar { k }$, то $div\bar { a } =\frac { \partial (x^3-yz+\cos (xyz)) } { \partial x } -\frac { \partial \left( { xy^2z^3 }\right) } { \partial y } +\frac { \partial \left( { arctg\frac { xy } { z } }\right) } { \partial z } =3x^2-yz\sin (xyz)-2xyz^3-\frac { xy } { x^2y^2+z^2 }$.

Ротор векторного поля

Ротором векторного поля $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ в точке $M\in V$ называется векторная величина { векторное поле } $rot\bar { a } (M)=\left( { \frac { \partial R } { \partial y } -\frac { \partial Q } { \partial z } }\right)\bar { i } +\left( { \frac { \partial P } { \partial z } -\frac { \partial R } { \partial x } }\right)\bar { j } +\left( { \frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } }\right)\bar { k }$.

Запомнить эту формулу очень легко, если выразить $rot\bar { a } (M)$ через оператор Гамильтона набла: $rot\bar { a } (M)$ равен векторному произведению $\nabla \times \bar { a }$. Действительно,

$rot\bar { a } (M)=\nabla \times \bar { a } =\left| { \begin{array} { l } \bar { i } \bar { j } \bar { k } \\ \frac { \partial } { \partial x } \frac { \partial } { \partial y } \frac { \partial } { \partial z } \\ PQR \\ \end{array} }\right|$.

Если теперь раскрыть этот определитель по первой строке, получим $rot\bar { a } (M)=\nabla \times \bar { a } =\left| { \begin{array} { l } \bar { i } \bar { j } \bar { k } \\ \frac { \partial } { \partial x } \frac { \partial } { \partial y } \frac { \partial } { \partial z } \\ PQR \\ \end{array} }\right|=\bar { i } \left( { \frac { \partial R } { \partial y } -\frac { \partial Q } { \partial z } }\right)-\bar { j } \left( { \frac { \partial R } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial z } }\right)+ \bar { k } \left( { \frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } }\right)=\\=\left( { \frac { \partial R } { \partial y } -\frac { \partial Q } { \partial z } }\right)\bar { i } +\left( { \frac { \partial P } { \partial z } -\frac { \partial R } { \partial x } }\right)\bar { j } +\left( { \frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } }\right)\bar { k } .$ Пример 2

Если $\bar { a } =(x^3-yz+\cos (xyz))\bar { i } -xy^2z^3\bar { j } +arctg\frac { xy } { z } \bar { k }$, то

$rot\bar { a } =\left| { \begin{array} { l } \bar { i } \bar { j } \bar { k } \\ \frac { \partial } { \partial x } \frac { \partial } { \partial y } \frac { \partial } { \partial z } \\ x^3-yz+\cos (xyz)-xy^2z^3arctg\frac { xy } { z } \\ \end{array} }\right|=\bar { i } \left( { \frac { \partial \left( { arctg\frac { xy } { z } }\right) } { \partial y } -\frac { \partial \left( { -xy^2z^3 }\right) } { \partial z } }\right)-\bar { j } \left( { \frac { \partial \left( { arctg\frac { xy } { z } }\right) } { \partial x } -\frac { \partial \left( { x^3-yz+\cos (xyz) }\right) } { \partial z } }\right)+ \\ + \bar { k } \left( { \frac { \partial \left( { -xy^2z^3 }\right) } { \partial x } -\frac { \partial \left( { x^3-yz+\cos (xyz) }\right) } { \partial y } }\right)=\left( { \frac { xz } { x^2y^2+z^2 } +3xy^2z^2 }\right)\bar { i } -\left( { \frac { yz } { x^2y^2+z^2 } +y+xy\sin (xyz) }\right)\bar { j } -\left( { y^2z^3-z-xz\sin (xyz) }\right)\bar { k }$

Свойства ротора

1. Если $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ - постоянное векторное поле, то $rot\bar { a } =\bar { 0 }$;

2. $rot\left( { С\_1 \bar { a } \_1 +С\_2 \bar { a } \_2 }\right)=С\_1 rot\bar { a } \_1 +С\_2 rot\bar { a } \_2$ { или $\nabla \times \left( { С\_1 \bar { a } \_1 +С\_2 \bar { a } \_2 }\right)=С\_1 \nabla \times \bar { a } \_1 +С\_2 \nabla \times \bar { a } \_2 )$;

3. Если $\mathbf { \textit { u } }$ - скалярное поле, то $rot\left( { u\cdot \bar { a } }\right)=gradu\times \bar { a } +urot\bar { a }$ { или $\nabla \times \left( { \bar { a } u }\right)=\nabla u\times \bar { a } +u\left( { \nabla \times \bar { a } }\right))$. В частности, если $\bar { a } (\mathbf { \textit { M } } )$ - постоянное векторное поле, то $\nabla \times \left( { u\bar { a } }\right)=\nabla u\times \bar { a } =gradu\times \bar { a }$.

Докажем третье свойство

$rot\left( { u\cdot \bar { a } }\right)=\left| { \begin{array} { l } \bar { i } \bar { j } \bar { k } \\ \frac { \partial } { \partial x } \frac { \partial } { \partial y } \frac { \partial } { \partial z } \\ uPuQuR \\ \end{array} }\right|=\left( { \frac { \partial (uR) } { \partial y } -\frac { \partial (uQ) } { \partial z } }\right)\bar { i } -\left( { \frac { \partial (uR) } { \partial x } -\frac { \partial (uP) } { \partial z } }\right)\bar { j } +\left( { \frac { \partial (uQ) } { \partial x } -\frac { \partial (uP) } { \partial y } }\right)\bar { k } =\left( { R\frac { \partial u } { \partial y } -Q\frac { \partial u } { \partial z } + \\+u\left( { \frac { \partial R } { \partial y } -\frac { \partial Q } { \partial z } }\right) }\right)\bar { i } -\left( { R\frac { \partial u } { \partial x } -P\frac { \partial u } { \partial z } +u\left( { \frac { \partial R } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial z } }\right) }\right)\bar { j } +\left( { Q\frac { \partial u } { \partial x } -P\frac { \partial u } { \partial y } +u\left( { \frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } }\right) }\right)\bar { k } = \\ =\left( { R\frac { \partial u } { \partial y } -Q\frac { \partial u } { \partial z } }\right)\bar { i } -\left( { R\frac { \partial u } { \partial x } -P\frac { \partial u } { \partial z } }\right)\bar { j } +\left( { Q\frac { \partial u } { \partial x } -P\frac { \partial u } { \partial y } }\right)\bar { k } +u\left[ { \left( { \frac { \partial R } { \partial y } -\frac { \partial Q } { \partial z } }\right)\bar { i } -\left( { \frac { \partial R } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial z } }\right)\bar { j } +\left( { \frac { \partial Q } { \partial x } -\frac { \partial P } { \partial y } }\right)\bar { k } }\right]= \\ = \left| { \begin{array} { l } \bar { i } \bar { j } \bar { k } \\ \frac { \partial u } { \partial x } \frac { \partial u } { \partial y } \frac { \partial u } { \partial z } \\ PQR \\ \end{array} }\right|+urota=gradu\times \bar { a } +urota$