Вычисление двойного интеграла. Двукратный интеграл

Определение простой { правильной } области

Область $\mathbf { \textit { D } }$ на плоскости $\mathbf { \textit { Oxy } }$будем называть $\textbf { простой { правильной } в направлении оси } \quad \mathbf { \textit { Oy } }$, если любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области $\mathbf { \textit { D } }$ и параллельная оси $\mathbf { \textit { Oy } }$, пересекает границу $\mathbf { \textit { D } }$ в двух точках.

Аналогично определяется область, $\textbf { простая { правильная } в направлении оси } \mathbf { \textit { Ox } }$: любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области $\mathbf { \textit { D } }$ и параллельная оси $\mathbf { \textit { Oх } }$, пересекает границу $\mathbf { \textit { D } }$ в двух точках.

Область, правильную { простую } в направлении обеих осей, будем называть $\textbf { правильной }$.

$y=\varphi \_1 (x) y=\varphi \_2 (x)$ Ограниченную замкнутую область $\mathbf { \textit { D } }$, правильную в направлении оси $\mathbf { \textit { Oy } }$, можно описать неравенствами

$D:\left[ \begin{array} { l } a\leqslant x\leqslant b, \newline \varphi \_1 (x)\leqslant y\leqslant \varphi \_2 (x) \newline \end{array} \right].$

Числа $\mathbf { \textit { a } }$ и $\mathbf { \textit { b } }$ существуют вследствие ограниченности области $\mathbf { \textit { D } }$, функция $\varphi \_1 (x)$ образована нижними точками пересечения прямой $\mathbf { \textit { x } } =\mathbf { \textit { x } } \_ { 0 }$ при $a<x\_0 <b$ с границей области $\mathbf { \textit { D } }$, функция $\varphi \_2 (x)$ - верхними точками пересечения этой прямой с границей области $\mathbf { \textit { D } }$.

Аналогичным образом область $\mathbf { \textit { D } }$, ограниченную, замкнутую и правильную в направлении оси $\mathbf { \textit { Oх } }$, можно описать неравенствами

$D:\left[ \begin{array} { l } c\leqslant y\leqslant d, \newline \psi \_1 (y)\leqslant x\leqslant \psi \_2 (y) \newline \end{array} \right].$

Функция $\psi \_1 (y)$ образована левыми точками пересечения прямой $\mathbf { \textit { y } } =\mathbf { \textit { y } } \_ { 0 }$ при $c<y\_0 <d$ с границей области $\mathbf { \textit { D } }$, функция $\psi \_2 (y)$ - правыми точками пересечения этой прямой с границей области $\mathbf { \textit { D } }$.

$x=\psi \_2 (y) x=\psi \_1 (y)$ Для правильной области { т.е. области, правильной в направлении обеих осей } существуют оба способа представления:

$D:\left[ \begin{array} { l } a\leqslant x\leqslant b, \newline \varphi \_1 (x)\leqslant y\leqslant \varphi \_2 (x) \newline \end{array} \right]$ и

$D:\left[ \begin{array} { l } c\leqslant y\leqslant d, \newline \psi \_1 (y)\leqslant x\leqslant \psi \_2 (y) \newline \end{array} \right].$

Двукратный { повторный } интеграл

Пусть $\mathbf { \textit { D } }$ - область, простая в направлении оси $\mathbf { \textit { Oy } }$. Рассмотрим выражение $J(D)=\int\limits\_a^b { \left( { \int\limits\_ { \varphi \_1 (x) } ^ { \varphi \_2 (x) } { f(x,y)dy } }\right)dx }$. Эта конструкция определяется через два обычных определённых интеграла. После интегрирования по $\mathbf { \textit { у } }$ во внутреннем интеграле { переменная $\mathbf { \textit { х } }$ при этом рассматривается как постоянная } и подстановки по $\mathbf { \textit { у } }$ в пределах от $\varphi \_1 (x)$ до $\varphi \_2 (x)$ получается функция, зависящая только от $\mathbf { \textit { х } }$, которая интегрируется в пределах от $\mathbf { \textit { a } }$ до $\mathbf { \textit { b } }$. В дальнейшем мы будем обычно записывать этот объект без внутренних скобок:

$$

J(D)=\int\limits\_a^b { dx\int\limits\_ { \varphi \_1 (x) } ^ { \varphi \_2 (x) } { f(x,y)dy } } .

$$

Можно показать, что двукратный интеграл обладает всеми свойствами двойного интеграла:

Свойства линейности и интегрирования неравенств следуют из этих свойств определённого интеграла; интеграл от единичной функции даёт площадь области $\mathbf { \textit { D } }$: $\int\limits\_a^b { dx\int\limits\_ { \varphi \_1 (x) } ^ { \varphi \_2 (x) } { dy } } =\int\limits\_a^b { dx\cdot \left. y \right|\_ { \varphi \_1 (x) } ^ { \varphi \_2 (x) } } =\int\limits\_a^b { \left[ { \varphi \_2 (x)-\varphi \_1 (x) }\right]dx } =s(D)$;

$y=\varphi \_1 (x) y=\varphi \_2 (x)$ теоремы об оценке и о среднем следуют из перечисленных свойств. Единственное свойство, с которым придётся повозиться - это свойство аддитивности. Мы докажем его в простой, но достаточной для нас форме: если область $\mathbf { \textit { D } }$ разбита на две подобласти $\mathbf { \textit { D } } \_ { 1 }$ и $\mathbf { \textit { D } } \_ { 2 }$ прямой, параллельной одной из координатных осей, то двукратный интеграл по области $\mathbf { \textit { D } }$ равен сумме интегралов по $\mathbf { \textit { D } } \_ { 1 }$ и $\mathbf { \textit { D } } \_ { 2 }$: $\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } )=\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } \_ { 1 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } \_ { 2 } )$.

Первый случай:

прямая $\mathbf { \textit { x } } =\mathbf { \textit { a } } \_ { 1 }$ параллельна оси $\mathbf { \textit { Oy } }$. Тогда $J(D)=\int\limits\_a^b { dx\int\limits\_ { \varphi \_1 (x) } ^ { \varphi \_2 (x) } { f(x,y)dy } } =\int\limits\_a^ { a\_1 } { dx\int\limits\_ { \varphi \_1 (x) } ^ { \varphi \_2 (x) } { f(x,y)dy } } +\int\limits\_ { a\_1 } ^b { dx\int\limits\_ { \varphi \_1 (x) } ^ { \varphi \_2 (x) } { f(x,y)dy } }$ { аддитивность внешнего интеграла } = $\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } \_ { 1 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } \_ { 2 } )$.

$y=\varphi \_2 (x) y=\varphi \_2 (x)$

Второй случай:

прямая $\mathbf { \textit { y } } =\mathbf { \textit { c } } \_ { 1 }$ параллельна оси $\mathbf { \textit { Oх } }$. Воспользуемся сначала аддитивностью внешнего интеграла: $J(D)=\int\limits\_a^b { dx\int\limits\_ { \varphi \_1 (x) } ^ { \varphi \_2 (x) } { f(x,y)dy } } = y=\varphi \_1 (x) =\int\limits\_a^ { a\_1 } { dx\int\limits\_ { \varphi \_1 (x) } ^ { \varphi \_2 (x) } { f(x,y)dy } } +\int\limits\_ { a\_1 } ^ { b\_1 } { dx\int\limits\_ { \varphi \_1 (x) } ^ { \varphi \_2 (x) } { f(x,y)dy } } +\int\limits\_ { b\_1 } ^b { dx\int\limits\_ { \varphi \_1 (x) } ^ { \varphi \_2 (x) } { f(x,y)dy } } =$ { теперь применим свойство аддитивности для внутреннего интеграла в среднем слагаемом } $\textbf { = } \int\limits\_a^ { a\_1 } { dx\int\limits\_ { \varphi \_1 (x) } ^ { \varphi \_2 (x) } { f(x,y)dy } } +\int\limits\_ { a\_1 } ^ { b\_1 } { dx\left[ { \int\limits\_ { \varphi \_1 (x) } ^ { с\_1 } { f(x,y)dy } +\int\limits\_ { с\_1 } ^ { \varphi \_2 (x) } { f(x,y)dy } }\right] } +\int\limits\_ { b\_1 } ^b { dx\int\limits\_ { \varphi \_1 (x) } ^ { \varphi \_2 (x) } { f(x,y)dy } } =$ { применяем свойство линейности для внешнего интеграла в среднем слагаемом и перегруппировываем сумму } =$=\int\limits\_a^ { a\_1 } { dx\int\limits\_ { \varphi \_1 (x) } ^ { \varphi \_2 (x) } { f(x,y)dy } } +\int\limits\_ { a\_1 } ^ { b\_1 } { dx\int\limits\_ { \varphi \_1 (x) } ^ { с\_1 } { f(x,y)dy } } +\int\limits\_ { a\_1 } ^ { b\_1 } { dx\int\limits\_ { с\_1 } ^ { \varphi \_2 (x) } { f(x,y)dy } } +\int\limits\_ { b\_1 } ^b { dx\int\limits\_ { \varphi \_1 (x) } ^ { \varphi \_2 (x) } { f(x,y)dy } } =$ $=\left[ { \int\limits\_a^ { a\_1 } { dx\int\limits\_ { \varphi \_1 (x) } ^ { \varphi \_2 (x) } { f(x,y)dy } } +\int\limits\_ { a\_1 } ^ { b\_1 } { dx\int\limits\_ { с\_1 } ^ { \varphi \_2 (x) } { f(x,y)dy } + } \int\limits\_ { b\_1 } ^b { dx\int\limits\_ { \varphi \_1 (x) } ^ { \varphi \_2 (x) } { f(x,y)dy } } }\right]+ \left[ { \int\limits\_ { a\_1 } ^ { b\_1 } { dx\int\limits\_ { \varphi \_1 (x) } ^ { с\_1 } { f(x,y)dy } } }\right]$

первая скобка даёт повторный интеграл по $\mathbf { \textit { D } } \_ { 1 }$, вторая - по $\_ { } \mathbf { \textit { D } } \_ { 2 } =\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } \_ { 1 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } \_ { 2 } )$.

Понятно, что возможны различные случаи взаимного расположения прямых $\mathbf { \textit { y } } =\mathbf { \textit { c } } \_ { 1 }$, $\mathbf { \textit { x } } =\mathbf { \textit { a } } \_ { 1 }$, $\mathbf { \textit { x } } =\mathbf { \textit { a } } \_ { 2 }$ и функций $y=\varphi \_1 (x)$, $y=\varphi \_2 (x)$, но логика доказательства во всех случаях такая же.

Обобщим доказанное свойство. Пусть прямая разбивает область $\mathbf { \textit { D } }$ на две подобласти $\mathbf { \textit { D } } \_ { 1,1 }$ и $\mathbf { \textit { D } } \_ { 1,2 }$. Проведём ещё одну прямую, параллельную какой-либо координатной оси. Пусть эта прямая разбивает $\mathbf { \textit { D } } \_ { 1,1 }$ на $\mathbf { \textit { D } } \_ { 1 }$ и$\mathbf { \textit { D } } \_ { 2 }$; $\mathbf { \textit { D } } \_ { 1,2 }$ - на $\mathbf { \textit { D } } \_ { 3 }$ и $\mathbf { \textit { D } } \_ { 4 }$. По доказанному, $\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } \_ { 1,1 } )=\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } \_ { 1 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } \_ { 2 } )$, $\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } \_ { 1,2 } )=\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } \_ { 3 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } \_ { 4 } )$, поэтому $\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } )=\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } \_ { 1,1 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } \_ { 1,2 } )=\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } \_ { 1 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } \_ { 2 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } \_ { 3 } )+\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } \_ { 4 } )$. Продолжая рассуждать также, убеждаемся в справедливости следующего утверждения: если область $\mathbf { \textit { D } }$ с помощью прямых, параллельных координатным осям, разбита на подобласти $\mathbf { \textit { D } } \_ { 1 }$, $\mathbf { \textit { D } } \_ { 2 } , { \ldots } , \mathbf { \textit { D } } \_ { n }$, то $J(D)=J(D\_1 )+J(D\_2 )+\ldots +J(D\_n )=\sum\limits\_ { i=1 } ^n { J(D\_i ) }$.

Теорема о переходе от двойного интеграла к повторному

Пусть $\mathbf { \textit { D } }$ - простая в направлении оси $\mathbf { \textit { Oy } }$ область. Тогда двойной интеграл от непрерывной функции по области $\mathbf { \textit { D } }$ равен повторному интегралу от той же функции по области $\mathbf { \textit { D } }$: $\iint\limits\_D { f(x,y)dxdy } =\int\limits\_a^b { dx\int\limits\_ { \varphi \_1 (x) } ^ { \varphi \_2 (x) } { f(x,y)dy } }$.

**Док-во:**Разобьём область $\mathbf { \textit { D } }$ с помощью прямых, параллельных координатным осям, на подобласти $\mathbf { \textit { D } } \_ { 1 }$, $\mathbf { \textit { D } } \_ { 2 }$, { \ldots } , $\mathbf { \textit { D } } \_ { n }$. По доказанному выше, $J(D)=\int\limits\_a^b { dx\int\limits\_ { \varphi \_1 (x) } ^ { \varphi \_2 (x) } { f(x,y)dy } } =\sum\limits\_ { i=1 } ^n { J(D\_i ) }$. К каждому из интегралов $\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } \_ { i } )$ применим теорему о среднем: в любой области $\mathbf { \textit { D } } \_ { i }$ найдётся точка $\mathbf { \textit { P } } \_ { i }$ такая, что $\mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { D } } \_ { i } )=\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { P } } \_ { i } ) \quad \mathbf { \textit { s } } (\mathbf { \textit { D } } \_ { i } )$. Следовательно, $J(D)=\sum\limits\_ { i=1 } ^n { f(P\_i )s(D\_i ) }$. В последнем равенстве справа стоит интегральная сумма для двойного интеграла $\iint\limits\_D { f(x,y)dxdy }$. Будем мельчить разбиение области так, чтобы $d=\mathop { \max } \limits\_ { i=1,2,\ldots ,n } diam(D\_i )\to 0$. Вследствие непрерывности функции $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } }$, $\mathbf { \textit { y } } )$ по теореме существования интегральная сумма при этом стремится к двойному интегралу $\iint\limits\_D { f(x,y)dxdy }$, т.е. в пределе получим $\int\limits\_a^b { dx\int\limits\_ { \varphi \_1 (x) } ^ { \varphi \_2 (x) } { f(x,y)dy } } =\iint\limits\_D { f(x,y)dxdy }$, что и требовалось доказать.

Если область $\mathbf { \textit { D } }$ правильная в направлении оси $\mathbf { \textit { Oх } }$, то аналогично доказывается формула $\iint\limits\_D { f(x,y)dxdy } =\int\limits\_с^d { dy\int\limits\_ { \psi \_1 (y) } ^ { \psi \_2 (y) } { f(x,y)dx } }$. Если $\mathbf { \textit { D } }$ правильна в направлении обеих осей, то для вычисления двойного интеграла можно применять любую из эти формул: $\iint\limits\_D { f(x,y)dxdy } =\int\limits\_a^b { dx\int\limits\_ { \varphi \_1 (x) } ^ { \varphi \_2 (x) } { f(x,y)dy } } =\int\limits\_с^d { dy\int\limits\_ { \psi \_1 (y) } ^ { \psi \_2 (y) } { f(x,y)dx } }$.

Если область не является правильной, её разбивают на правильные подобласти.