Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах

Теорема о замене переменных в двойном интеграле

Пусть на плоскости $\mathbf { \textit { Ouv } }$ задана область $\mathbf { \textit { G } }$, и пусть отображение $\mathbf { \textit { F } } (\mathbf { \textit { M } } )=\mathbf { \textit { M } }$* преобразует эту область в область $\mathbf { \textit { D } }$ на плоскости $\mathbf { \textit { Oxy } } .$ Будем считать, что отображение $\mathbf { \textit { F } }$ задаётся функциями

$F:\left[ \begin{array} { l } x=x(u,v) \newline y=y(u,v) \newline \end{array} \right].$

Пусть:

1. $\mathbf { \textit { F } }$ взаимно однозначно отображает $\mathbf { \textit { G } }$ на $\mathbf { \textit { D } }$;

2. функции $\mathbf { \textit { x } } (\mathbf { \textit { u,v } } )\mathbf { \textit { , y } } (\mathbf { \textit { u,v } } )$ непрерывно дифференцируемы на $\mathbf { \textit { G } }$ { имеют непрерывные частные производные } ;

3. якобиан $J(u,v)=\frac { \partial (x,y) } { \partial (u,v) } =\left| { \begin{array} { l } \frac { \partial x } { \partial u } \quad \frac { \partial y } { \partial u } \newline \frac { \partial x } { \partial v } \quad \frac { \partial y } { \partial v } \newline \end{array} } \right|$ не обращается в нуль на $\mathbf { \textit { G } } .$

${ \frac { { \partial \left( { x,y }\right) } } { { \partial \left( { u,v }\right) } } } = { \left| { \begin{array}{c} { \frac { { \partial x } } { { \partial u } } } & { \frac { { \partial x } } { { \partial v } } } \\ { \frac { { \partial y } } { { \partial u } } } & { \frac { { \partial y } } { { \partial v } } } \end{array} }\right| } = { \left| { \begin{array}{c} { \frac { { \partial \left( { u\cos v }\right) } } { { \partial u } } } & { \frac { { \partial \left( { u\cos v }\right) } } { { \partial v } } } \\ { \frac { { \partial \left( { u\sin v }\right) } } { { \partial u } } } & { \frac { { \partial \left( { u\sin v }\right) } } { { \partial v } } } \end{array} }\right| } = { \left| { \begin{array}{c} { \cos v } & { - u\sin v } \\ { \sin v } & { u\cos v } \end{array} }\right| } = { \cos v \cdot u\cos v - \left( { - u\sin v }\right) \cdot \sin v } = { u, { \cos ^2 } v + u, { \sin ^2 } v } = \\ = { u\left( { { { \cos } ^2 } v + { { \sin } ^2 } v }\right) = u. }$

Докажем, что в этих предположениях $\iint\limits\_D { f(x,y)dxdy=\iint\limits\_G { f(x(u,v),y(u,v))\cdot \left| { J(u,v) }\right|\cdot dudv } }$.

Док-во:

Рассмотрим, как связаны между собой площадь параллелограмма $\mathbf { \textit { АВСЕ } }$ со сторонами $\Delta u,\Delta v$в области $\mathbf { \textit { G } }$ и площадь его образа при преобразовании $\mathbf { \textit { F } } \textbf { - }$криволинейного параллелограмма $\mathbf { \textit { A } } \_ { 1 } \mathbf { \textit { B } } \_ { 1 } \mathbf { \textit { C } } \_ { 1 } \mathbf { \textit { E } } \_ { 1 }$ в области $\mathbf { \textit { D } } .$ С точностью до бесконечно малых высших порядков по сравнению с $\Delta u,\Delta v$, площадь криволинейного параллелограмма $\mathbf { \textit { A } } \_ { 1 } \mathbf { \textit { B } } \_ { 1 } \mathbf { \textit { C } } \_ { 1 } \mathbf { \textit { E } } \_ { 1 }$ равна площади обычного параллелограмма, построенного на векторах $\overline { A\_1 B\_1 }$ и $\overline { A\_1 C\_1 }$. Пусть точка $А$ имеет координаты $\mathbf { \textit { u,v } }$, тогда точка $\mathbf { \textit { А } } \_ { 1 }$ будет иметь координаты $\mathbf { \textit { x } } (\mathbf { \textit { u,v } } ),\mathbf { \textit { y } } (\mathbf { \textit { u,v } } ))$, т.е. $A(u,v)\to A\_1 (x(u,v),y(u,v))$. Для других точек: $B(u+\Delta u,v)\to B\_1 (x(u+\Delta u,v),y(u+\Delta u,v))= \quad B\_1 (x(u,v)+\frac { \partial x } { \partial u } (u,v)\Delta u+\alpha \_1 (\Delta u)\Delta u,y(u,v)+\frac { \partial y } { \partial u } (u,v)\Delta u+\alpha \_2 (\Delta u)\Delta u)$ { по формуле приращения дифференцируемой функции } . Аналогично $C(u,v+\Delta v)\to C\_1 (x(u,v+\Delta v),y(u,v+\Delta v))=$

$C\_1 (x(u,v)+\frac { \partial x } { \partial v } (u,v)\Delta v+\alpha \_3 (\Delta v)\Delta v,y(u,v)+\frac { \partial y } { \partial v } (u,v)\Delta v+\alpha \_4 (\Delta v)\Delta v),$ где $\alpha \_i \to 0;(i=1,2,3,4)$ при $\Delta u,\Delta v\to 0$.

Пренебрежём членами порядка малости выше первого по сравнению с

$\Delta u,\Delta v$. Тогда $\overline { AB } [\Delta u,0]\to \overline { A\_1 B\_1 } \left[ { \frac { \partial x } { \partial u } (u,v),\frac { \partial y } { \partial u } (u,v) \left. { \begin{array} { l } \newline \newline \end{array} }\right] ; } \right.\overline { AC } [0,\Delta v]\to \overline { A\_1 C\_1 } \left[ { \frac { \partial x } { \partial v } (u,v),\frac { \partial y } { \partial v } (u,v)\left. { \begin{array} { l } \newline \newline \end{array} } \right] } \right.$ Пусть теперь $\textbf { i,j,k }$ - базисные орты пространства, в котором лежит плоскость $\mathbf { \textit { Oxy } }$. Как известно, площадь параллелограмма, построенного на векторах $\overline { A\_1 B\_1 }$ и $\overline { A\_1 C\_1 }$, равна модулю векторного произведения этих векторов { проекции на орт $\textbf { k }$равны нулю } :

$$

S\_ { A\_1 B\_1 C\_1 E\_1 } =\left| { \left[ { \overline { A\_1 B\_1 } \ast \overline { A\_1 C\_1 } }\right] }\right|=\left| { \left| { $$\begin{array} { l } { \rm { \bf i } } \quad ;;;;;; { \rm { \bf j } } \quad ;;;; { \rm { \bf k } } \newline \frac { \partial x } { \partial u } \Delta u;;\frac { \partial y } { \partial u } \Delta u;;0 \newline \frac { \partial x } { \partial v } \Delta v;;\frac { \partial y } { \partial v } \Delta v;;0 \newline \end{array}$$ }\right| }\right|=\left| { \rm { \bf k } }\right|\left| { \left| { $$\begin{array} { l } \frac { \partial x } { \partial u } \Delta u;;\frac { \partial y } { \partial u } \Delta u \newline \frac { \partial x } { \partial v } \Delta v;;\frac { \partial y } { \partial v } \Delta v \newline \end{array}$$ }\right| }\right|=\left| { \left| { $$\begin{array} { l } \frac { \partial x } { \partial u } ;;\frac { \partial y } { \partial u } \newline \frac { \partial x } { \partial v } ;;\frac { \partial y } { \partial v } \newline \end{array}$$ }\right| }\right|\left| { \Delta u\Delta v }\right|=\left| { J(u,v) }\right|S\_ { ABCE } .

$$

Мы доказали замечательную вещь. Если вокруг точки $M\in G$ взять маленькую область, то после преобразования $\mathbf { \textit { F } }$ площадь этой области меняется в $\vert \quad \mathbf { \textit { J } } (\mathbf { \textit { M } } ) \quad \vert$ раз.

2. Перейдём к доказательству основной формулы. Разобьём $\mathbf { \textit { G } }$ прямыми, параллельными осям координат, на области $\mathbf { \textit { G } } \_ { 1 }$, $\mathbf { \textit { G } } \_ { 2 } , { \ldots } , \mathbf { \textit { G } } \_ { n }$. Образы этих линий дадут разбиение $\mathbf { \textit { D } }$ на области $\mathbf { \textit { D } } \_ { 1 }$, $\mathbf { \textit { D } } \_ { 2 } , { \ldots } , \mathbf { \textit { D } } \_ { n }$. Для этого разбиения составим интегральную cумму $\sum\limits\_ { i=1 } ^n { f(P\_i )S(D\_i )= } \sum\limits\_ { i=1 } ^n { f(x(u\_i ,v\_i ),y(u\_i ,v\_i ))\left| J \right|S(G\_i ) }$. Устремим $\mathop { \max } \limits\_ { i=1,2,...,n } diam(G\_i )\to 0$; тогда и $\mathop { \max } \limits\_ { i=1,2,...,n } diam(D\_i )\to 0$. И слева, и справа интегральные суммы записаны для непрерывных функций, следовательно,и слева, и справа существуют пределы - двойные интегралы, и они равны: $\iint\limits\_D { f(x,y)dxdy=\iint\limits\_G { f(u,v)\cdot \left| { J(u,v) }\right|\cdot dudv } }$, что и требовалось доказать.

Двойной интеграл в полярных координатах

Нам придётся применять эту формулу, в основном, для перехода к полярным координатам. Роль переменных $\mathbf { \textit { u } }$ и $\mathbf { \textit { v } }$ будут играть $\mathbf { \textit { r } }$ и $\phi$. Как известно, $x=r\cos \varphi ,y=r\sin \varphi$. Вычислим якобиан: $J=\left| { \left| { \begin{array} { l } \cos \varphi \quad ;;;;\sin \varphi \newline -r\sin \varphi ;;r\cos \varphi \newline \end{array} }\right| }\right|=\vert r\vert =r$, следовательно, $\iint\limits\_ { D(x,y) } { f(x,y)dxdy } =\iint\limits\_ { D(r,\phi ) } { f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rdrd\varphi }$. Двойной интеграл в координатах $\mathbf { \textit { r } } ,\phi$ вычисляется также как и в координатах $\mathbf { \textit { x } } ,\mathbf { \textit { y } } ,$переходом к двухкратному, при этом внешний обычно берут по $\varphi$. Если область $\mathbf { \textit { D } }$ описывается как

$D:\left[ { \begin{array} { l } \varphi \_0 \leqslant \varphi \leqslant \varphi \_k \newline r\_1 (\varphi )\leqslant r\leqslant r\_2 (\varphi ) \newline \end{array} } \right]$,

то $\iint\limits\_ { D(r,\varphi ) } { f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rdrd\varphi } =\int\limits\_ { \varphi \_0 } ^ { \varphi \_k } { d\varphi \int\limits\_ { r\_1 (\varphi ) } ^ { r\_2 (\varphi ) } { f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )rdr } }$. Естественно, если $r\_1 (\varphi ),r\_2 (\varphi )$ - кусочные функции, то внешний интеграл разбивается на несколько слагаемых. Однозначно дать рецепт, когда имеет смысл переходить к полярным координатам, нельзя, это дело опыта. Можно пробовать перейти к $\mathbf { \textit { r } } ,\phi$, если либо $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } } ,\mathbf { \textit { y } } )$, либо кривые, ограничивающие область интегрирования, либо и то, и другое вместе, зависят от комбинации $\mathbf { \textit { x } } ^ { 2 } +\mathbf { \textit { y } } ^ { 2 } =\mathbf { \textit { r } } ^ { 2 }$.

Если $f(x,y)=f\left( { \frac { x^2 } { a^2 } +\frac { y^2 } { b^2 } }\right)$ и/или область $\mathbf { \textit { D } }$ ограничивается эллипсом $\frac { x^2 } { a^2 } +\frac { y^2 } { b^2 } =1$, полезны обобщённые полярные координаты $x=ar\cos \varphi ,y=br\sin \varphi$. Каков якобиан этого преобразования?