Свойства двойного интеграла

Постоянный множитель может быть вынесен за знак двойного интеграла

(\iint\limits_R { c\left( { x,y }\right)dA } = c\iint\limits_R { f\left( { x,y }\right)dA } ,) где (c) - константа;

Линейность

Если функции $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } }$, $\mathbf { \textit { y } } )$, $\mathbf { \textit { g } } (\mathbf { \textit { x } }$, $\mathbf { \textit { y } } )$ интегрируемы по области $\mathbf { \textit { D } }$, то их линейная комбинация $\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)$ тоже интегрируема по области $\mathbf { \textit { D } }$, и $\iint\limits\_D { \left[ { \alpha f(P)+\beta g(P) }\right]ds= } \alpha \iint\limits\_D { f(P)ds } +\beta \iint\limits\_D { g(P)ds }$.

Док-во:

Для интегральных сумм справедливо равенство

$$\sum\limits\_ { i=1 } ^n { \left[ { \alpha f(P\_i )+\beta g(P\_i ) }\right]s(D\_i ) } =\alpha \sum\limits\_ { i=1 } ^n { f(P\_i )s(D\_i ) } +\beta \sum\limits\_ { i=1 } ^n { g(P\_i )s(D\_i ) }$$

Переходя к пределу при $d=\mathop { \max } \limits\_ { i=1,2,\ldots ,n } diam(D\_i )\to 0$ и пользуясь свойствами пределов, рассмотренными в разделе ** Арифметические действия с пределами { здесь должна быть ссылка, но пока ее нет } **, получим требуемое равенство.

Аддитивность

Если область $\mathbf { \textit { D } }$ является объединением двух областей $\mathbf { \textit { D } } \_ { 1 }$ и $\mathbf { \textit { D } } \_ { 2 }$, не имеющих общих внутренних точек, то $\iint\limits\_D { f(P)ds } =\iint\limits\_ { D\_1 } { f(P)ds } +\iint\limits\_ { D\_2 } { f(P)ds }$.

Док-во:

Пусть область $\mathbf { \textit { D } } \_ { 1 }$ разбита на подобласти $\mathbf { \textit { D } } \_ { 1,1 }$, $\mathbf { \textit { D } } \_ { 1,2 } , { \ldots } , \mathbf { \textit { D } } \_ { 1, n1 }$; область $\mathbf { \textit { D } } \_ { 2 }$ разбита на подобласти $\mathbf { \textit { D } } \_ { 2,1 }$, $\mathbf { \textit { D } } \_ { 2,2 } , { \ldots } , \mathbf { \textit { D } } \_ { 2, n2 }$. Тогда объединение этих разбиений даст разбиение области $\mathbf { \textit { D } }$: $D=\left( { \bigcup\limits\_ { i\_1 =1 } ^ { n\_1 } { D\_ { 1,i\_1 } } }\right)\cup \left( { \bigcup\limits\_ { i\_2 =1 } ^ { n\_2 } { D\_ { 2,i\_2 } } }\right)$ на $\mathbf { \textit { n } } \_ { 1 } +\mathbf { \textit { n } } \_ { 2 }$ подобластей. Интегральная сумма по области $\mathbf { \textit { D } }$ равна сумме сумм по областям $\mathbf { \textit { D } } \_ { 1 }$ и $\mathbf { \textit { D } } \_ { 2 }$: $\sum\limits\_ { i=1 } ^ { n\_1 +n\_2 } { f(P\_i )\cdot s(D\_i ) } =\sum\limits\_ { i\_1 =1 } ^ { n\_1 } { f(P\_ { i\_1 } )\cdot s(D\_ { i\_1 } ) } +\sum\limits\_ { i\_2 =1 } ^ { n\_2 } { f(P\_ { i\_2 } )\cdot s(D\_ { i\_2 } ) }$. Как и в предыдущем случае, переходя к пределу при $d=\mathop { \max } \limits\_ { i=1,2,\ldots ,n;;j=1,2 } diam(D\_ { i\_j } )\to 0$, получим требуемое равенство.

Интеграл от единичной функции по области

$\mathbf { \textit { D } }$ равен площади этой области: $\iint\limits\_D { ds } =s(D)\textbf { . }$

Док-во:

Для любого разбиения $\sum\limits\_ { i=1 } ^n { s(D\_i ) } =s(D)$, т.е. не зависит ни от разбиения, ни от выбора точек $\mathbf { \textit { P } } \_ { i }$. Предел постоянной равен этой постоянной, поэтому $\iint\limits\_D { ds } =\mathop { \lim } \limits\_ { d\to 0 } \sum\limits\_ { i=1 } ^n { s(D\_i ) } =s(D)$.

Интегрирование неравенств

Если в любой точке $P\in D$ выполняется неравенство $f(P)\leqslant g(P)$, и функции $\mathbf { \textit { f(P } } )$, $\mathbf { \textit { g } } (\mathbf { \textit { P } } )$ интегрируемы по области $\mathbf { \textit { D } }$, то $\iint\limits\_D { f(P)ds } \leqslant \iint\limits\_D { g(P)ds }$.

Док-во:

В любой точке $P\_i \in D$ выполняется неравенство $f(P)\leqslant g(P)$, поэтому $\sum\limits\_ { i=1 } ^n { f(P\_i )s(D\_i ) } \leqslant \sum\limits\_ { i=1 } ^n { f(P\_i )s(D\_i ) }$. По теореме о переходе к пределу в неравенствах отсюда следует требуемое утверждение.

Теоремы об оценке интеграла

Если функция $\mathbf { \textit { f(P } } )$ интегрируема по области $\mathbf { \textit { D } }$ и для $\forall P\in D$ выполняется $m\leqslant f(P)\leqslant M$, то $m\cdot s(D)\leqslant \iint\limits\_D { f(P)ds } \leqslant M\cdot s(D)$.

Док-во:

$m\leqslant f(P)\leqslant M \quad \mathop \Rightarrow \limits^ { ссылки-еще-нет } \quad \sum\limits\_ { i=1 } ^n { m\cdot s(D\_i ) } \leqslant \sum\limits\_ { i=1 } ^n { f(P\_i )s(D\_i ) } \leqslant \sum\limits\_ { i=1 } ^n { M\cdot s(D\_i ) } \mathop \Rightarrow \limits^ { ссылки-еще-нет } \\ \quad \mathop \Rightarrow \limits^ { ссылки-еще-нет } m\sum\limits\_ { i=1 } ^n { s(D\_i ) } \leqslant \sum\limits\_ { i=1 } ^n { f(P\_i )s(D\_i ) } \leqslant M\sum\limits\_ { i=1 } ^n { s(D\_i ) } \mathop \Rightarrow \limits^ { ссылки-еще-нет } m\cdot s(D)\leqslant \iint\limits\_D { f(P)ds } \leqslant M\cdot s(D)$

Цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств.

Если функция $\mathbf { \textit { f(P } } )$ интегрируема по области $\mathbf { \textit { D } }$, то $\left| { \iint\limits\_D { f(P)ds } }\right|\leqslant \iint\limits\_D { \vert f(P)\vert ds }$.

Док-во:

Эти неравенства непосредственно следуют из того, что $-\vert f(P)\vert \leqslant f(P)\leqslant \vert f(P)\vert$ и свойства ** Интегрирование неравенств**

Теорема о среднем

Если функция $\mathbf { \textit { f(P } } )$ непрерывна на области $\mathbf { \textit { D } }$, то существует точка $P\_0 \in D$, такая что $\iint\limits\_D { f(P)ds } =f(P\_0 )\cdot s(D)$.

Док-во:

Непрерывная на ограниченной замкнутой области $\mathbf { \textit { D } }$ функция $\mathbf { \textit { f(P } } )$ принимает в некоторых точках этой области своё минимальное $\mathbf { \textit { m } }$ и максимальное $\mathbf { \textit { M } }$ значения. Так как $m\leqslant f(P)\leqslant M$, то $m\cdot s(D)\leqslant \iint\limits\_D { f(P)ds } \leqslant M\cdot s(D)$, или $m\leqslant \frac { 1 } { s(D) } \iint\limits\_D { f(P)ds } \leqslant M$. Непрерывная функция принимает, кроме того, любое значение, заключённое между $\mathbf { \textit { m } }$ и $\mathbf { \textit { M } }$, в частности, значение

$\frac { 1 } { s(D) } \iint\limits\_D { f(P)ds } \leqslant M$. Следовательно, $\exists P\_0 \in D\vert ;f(P\_0 )=\frac { 1 } { s(D) } \iint\limits\_D { f(P)ds }$, откуда и следует доказываемое утверждение.