Определение двойного интеграла: строгая формулировка и теорема существования

Определение двойного интеграла

Пусть на плоскости $\mathbf{ \textit{ Oxy } }$ задана ограниченная замкнутая область $\mathbf{ \textit{ D } }$ с кусочно-гладкой границей, и пусть на области $\mathbf{ \textit{ D } }$ определена функция $\mathbf{ \textit{ f } }(\mathbf{ \textit{ x } }$, $\mathbf{ \textit{ y } })$.

Разобьём область $\mathbf{ \textit{ D } }$ произвольным образом на $\mathbf{ \textit{ n } }$ подобластей $\mathbf{ \textit{ D } }\_{ 1 }$, $\mathbf{ \textit{ D } }\_{ 2 }$,$\mathbf{ \textit{ D } }\_{ 3 }, { \ldots }, \mathbf{ \textit{ D } }\_{ n }$, { не имеющих общих внутренних точек }. Символом $\mathbf{ \textit{ s } }(\mathbf{ \textit{ D } }\_{ i })$ будем обозначать площадь области $\mathbf{ \textit{ D } }\_{ i }$; символом $diam(\mathbf{ \textit{ D } })$ здесь и дальше будет обозначаться наибольшее расстояние между двумя точками, принадлежащими области $\mathbf{ \textit{ D } }$:

$$

diam(D)=\mathop { \max }\limits\_{ P\_1 ,P\_2 \in D } \rho (P\_1 ,P\_2 );

$$

символом $d$ обозначим наибольший из диаметров областей $\mathbf{ \textit{ D } }\_{ i }$:

$d=\mathop { \max }\limits\_{ i=1,2,\ldots ,n } diam(D\_i )$.

В каждой из подобластей $\mathbf{ \textit{ D } }\_{ i } (\mathbf{ \textit{ i } } = 1,2, { \ldots }, \mathbf{ \textit{ n } })$ выберем произвольную точку $\mathbf{ \textit{ P } }\_{ i } = (\mathbf{ \textit{ x } }\_{ i }$, $\mathbf{ \textit{ y } }\_{ i })$, вычислим в этой точке значение функции $\mathbf{ \textit{ f } }(\mathbf{ \textit{ P } }\_{ i } ) = \mathbf{ \textit{ f } } (\mathbf{ \textit{ x } }\_{ i }, \mathbf{ \textit{ y } }\_{ i })$, и составим интегральную сумму $\sum\limits\_{ i=1 }^n { f(P\_i )\cdot s(D\_i ) }$.

Если существует предел последовательности интегральных сумм при

$d=\mathop { \max }\limits\_{ i=1,2,\ldots ,n } diam(D\_i )\to 0$, не зависящий ни от способа разбиения области $\mathbf{ \textit{ D } }$ на подобласти $\mathbf{ \textit{ D } }\_{ i }$, ни от выбора точек $\mathbf{ \textit{ P } }\_{ i }$, то функция $\mathbf{ \textit{ f } }(\mathbf{ \textit{ x } }$, $\mathbf{ \textit{ y } })$ называется интегрируемой по области $\mathbf{ \textit{ D } }$, а значение этого предела называется двойным интегралом от функции $\mathbf{ \textit{ f } }(\mathbf{ \textit{ x } }$, $\mathbf{ \textit{ y } })$ по области $\mathbf{ \textit{ D } }$ и обозначается $\iint\limits\_D { f(P)ds }$.

Если расписать значение $\mathbf{ \textit{ f } }(\mathbf{ \textit{ P } })$ через координаты точки $\mathbf{ \textit{ P } }$, и представить $\mathbf{ \textit{ ds } }$ как $\mathbf{ \textit{ ds } }=\mathbf{ \textit{ dx dy } }$, получим другое обозначение двойного интеграла: $\iint\limits\_D { f(x,y)dxdy }$. Итак, кратко,

$\iint\limits\_D { f(x,y)dxdy }=\iint\limits\_D { f(P)ds }=\mathop { \lim }\limits\_{ \begin{array}{ l } d\to 0 \ (n\to \infty ) \ \end{array} } \sum\limits\_{ i=1 }^n { f(x\_i ,y\_i )\cdot s(D\_i ) }$.

Теорема существования двойного интеграла

Если подынтегральная функция $\mathbf{ \textit{ f } }(\mathbf{ \textit{ x } }, \mathbf{ \textit{ y } })$ непрерывна на области $\mathbf{ \textit{ D } }$, то она интегрируема по этой области.

Геометрический смысл двойного интеграла. Геометрический смысл каждого слагаемого интегральной суммы

С геометрической точки зрения { при $f(x, y)\geq 0$ } интегральная сумма представляет собой сумму объемов цилиндров с основаниями $s(D_{ i })$ и высотами $f(P_i )$.

Если $f(x,y)\geqslant 0$, то $f(P\_i )\cdot s(D\_i )$ - объём прямого цилиндра с основанием $\mathbf{ \textit{ D } }\_{ i }$ высоты $\mathbf{ \textit{ f } }(\mathbf{ \textit{ P } }\_{ i })$; вся интегральная сумма $\sum\limits\_{ i=1 }^n { f(P\_i )\cdot s(D\_i ) }$ - сумма объёмов таких цилиндров, т.е. объём некоторого ступенчатого тела - высота ступеньки, расположенной над подобластью $\mathbf{ \textit{ D } }\_{ i }$, равна $\mathbf{ \textit{ f } }(\mathbf{ \textit{ P } }\_{ i })$. Когда $d=\mathop { \max }\limits\_{ i=1,2,\ldots ,n } diam(D\_i )\to 0$, это ступенчатое тело становится всё ближе к изображенному на рисунке телу, ограниченному снизу областью $\mathbf{ \textit{ D } }$, сверху - поверхностью $\mathbf{ \textit{ z } }=\mathbf{ \textit{ f } }(\mathbf{ \textit{ x } }$, $\mathbf{ \textit{ y } })$, с цилиндрической боковой поверхностью, направляющей которой является граница области $\mathbf{ \textit{ D } }$, а образующие параллельны оси $\mathbf{ \textit{ Oz } }$. Двойной интеграл $\iint\limits\_D { f(P)ds }$ равен объёму этого тела.