Cайты для работы и коммуникаций

Лучше один раз увидеть, чем 100 раз услышать!

Свойства тройного интеграла

По смыслу и доказательству полностью аналогичны свойствам определённого и двойного интегралов.

Линейность

Если функции $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { x } } $, $\mathbf { \textit { y } } $, $\mathbf { \textit { z } } )$, $\mathbf { \textit { g } } (\mathbf { \textit { x } } $, $\mathbf { \textit { y } } $, $\mathbf { \textit { z } } )$ интегрируемы по области$\mathbf { \textit { V } } $, то их линейная комбинация $\alpha f(x,y,z)+\beta g(x,y,z)$ тоже интегрируема по $\mathbf { \textit { V } } $, и $\iiint\limits_V { \,\left[ { \alpha f(P)+\beta g(P) }\right]dv } = \alpha \iiint\limits_V { f(P)dv } +\beta \iiint\limits_V { g(P)dv } $.

Аддитивность

Если область $\mathbf { \textit { V } } $ является объединением двух областей $\mathbf { \textit { V } } _ { 1 } $ и $\mathbf { \textit { V } } _ { 2 } $, не имеющих общих внутренних точек, то $\iiint\limits_V { f(P)dv } =\iiint\limits_ { V_1 } { f(P)dv } +\iiint\limits_ { V_2 } { f(P)dv } $.

Интеграл от единичной функции по области

$\mathbf { \textit { V } } \quad \textbf { равен объёму этой области: } \iiint\limits_V { dv } =v(V)\textbf { . } $

Интегрирование неравенств

Если в любой точке $P\in V$ выполняется неравенство $f(P)\leqslant g(P)$, и функции $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { P } } )$, $\mathbf { \textit { g } } (\mathbf { \textit { P } } )$ интегрируемы по области $\mathbf { \textit { V } } $, то $\iiint\limits_V { f(P)dv } \leqslant \iiint\limits_V { g(P)dv } $.

Теоремы об оценке интеграла

Если функция $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { P } } )$ интегрируема по области $\mathbf { \textit { V } } $, и для $\forall P\in V$ выполняется $m\leqslant f(P)\leqslant M$, то $m\cdot v(V)\leqslant \iiint\limits_V { f(P)dv } \leqslant M\cdot v(V)$.

Если функция $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { P } } )$ интегрируема по области$\mathbf { \textit { V } } $, то $\left| { \iiint\limits_V { f(P)dv } }\right|\leqslant \iiint\limits_V { \,\vert f(P)\vert dv } $.

Теорема о среднем

Если функция $\mathbf { \textit { f } } (\mathbf { \textit { P } } )$ непрерывна на области $\mathbf { \textit { V } } $, то существует точка $P_0 \in V$, такая что $\iiint\limits_V { f(P)dv } =f(P_0 )\cdot v(V)$.