Вычисление вероятности заданного отклонения
Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины $X$ от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа $\xi $, т.е. требуется найти вероятность осуществления неравенства $\left| { X-a }\right|\prec \xi $
Заменим его равносильным $-\xi \prec X-a\prec \xi или a-\xi \prec X\prec \xi -a$.
Воспользуемся формулой Лапласа (*) $ P( { \alpha \prec X\prec \beta } )=\Phi ( { \frac { \beta -a } { \sigma } } )-\Phi ( { \frac { \alpha -a } { \sigma } } ) $ получим
$\begin{array} { l } P( { \left| { X-a }\right|\prec \xi } )=P( { a-\xi \prec X\prec \xi +a } )=\Phi ( { \frac { ( { a+\xi } )-a } { \sigma } } )-\Phi ( { \frac { a-\xi -a } { \sigma } } )= \\ =\Phi ( { \frac { \xi } { \sigma } } )-\Phi ( { \frac { -\xi } { \sigma } } )=2\Phi ( { \frac { \xi } { \sigma } } ) \\ \end{array} $
В частности для $a=0$
$P( { \left| X \right|\prec \xi } )=2\Phi ( { \frac { \xi } { \sigma } } )$
Из рисунка видно, что вероятность того, что случайная величина $X$ примет значения $\left| X \right|\prec \xi ( { при\,a=0 } )$ больше у той кривой, где $\sigma -$ меньше. Этот факт полностью соответствует вероятностному смыслу $\sigma , \sigma -$ есть среднее квадратическое отклонение, оно характеризует рассеяние случайной величины вокруг ее математического ожидания.
Замечание. Если событие $\left| { X-a }\right|\prec \xi $ осуществляется с вероятностью $P$, то противоположное событие $\left| { X-a }\right|\geqslant \xi $ с вероятностью $1-P=q$
Пример. Случайная величина $X$ распределена нормально. Математическое ожидание 20 и среднее квадратическое отклонение 10. Найти вероятность того, что отклонение от математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 3. $ \begin{array} { l } P( { \left| { X-a }\right|\prec \xi } )=2\Phi ( { \frac { \xi } { \sigma } } ) \\ P( { \left| { X-20 }\right|<3 } )=2\Phi ( { \frac { 3 } { 10 } } )=2\Phi ( { 0,3 } )=2\cdot 0,1179=0,2358 \\ \end{array} $
Далее:
Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам
СКНФ. Теорема о представлении в виде СКНФ. Построение СКНФ по таблице
Вычисление площади поверхности
Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.
Нормальные формы
Логические следствия
Дифференциальные характеристики векторного поля
Специальные векторные поля
Нахождение потенциала
Свойства двойного интеграла
Механические приложения двойного интеграла
Определение криволинейного интеграла второго рода
Вычисление тройного интеграла. Теорема о переходе от тройного интеграла к повторному
Критерий полноты {формулировка}. Лемма о нелинейной функции
Огравление $\Rightarrow $
Комментарии ()