Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Известно, что если случайная величина задана плотностью распределения, то $ P( { \alpha \prec X\prec \beta } )=\int\limits_\alpha ^\beta { f( x )dx } $
Пусть $X$ - задана нормальным законом распределения
$ \begin{array} { l } P( { \alpha \prec X\prec \beta } )=\frac { 1 } { \sigma \sqrt { 2\pi } } \int\limits_\alpha ^\beta { e^ { \frac { -( { x-a } )^2 } { 2\sigma ^2 } } dx } =\left| { { \begin{array} { \c } { z=\frac { x-a } { \sigma } } \\ { x=z\sigma +a } \\ { dx=\sigma dz } \\ \end{array} } }\right|=\left| { { \begin{array} { \c } { x=\alpha , z=\frac { \alpha -a } { \sigma } } \\ { x=\beta , z=\frac { \beta -a } { \sigma } } \\ \end{array} } }\right|= \\ =\frac { \sigma } { \sigma \sqrt { 2\pi } } \int\limits_ { \frac { \alpha -a } { \sigma } } ^ { \frac { \beta -a } { \sigma } } { e^ { \frac { -z^2 } { 2 } } } dz=\frac { 1 } { \sqrt { 2\pi } } \int\limits_ { \frac { \alpha -a } { \sigma } } ^ { \frac { \beta -a } { \sigma } } { e^ { -\frac { z^2 } { 2 } } } dz=\frac { 1 } { \sqrt { 2\pi } } \int\limits_ { \frac { \alpha -a } { \sigma } } ^0 { e^ { \frac { -z^2 } { 2 } } dz } +\frac { 1 } { \sqrt { 2\pi } } \int\limits_0^ { \frac { \beta -a } { \sigma } } { e^ { -\frac { z^2 } { 2 } } dz } = \\ =\frac { 1 } { \sqrt { 2\pi } } \int\limits_0^ { \frac { \beta -a } { \sigma } } { e^ { \frac { -z^2 } { 2 } } } dz-\frac { 1 } { \sqrt { 2\pi } } \int\limits_0^ { \frac { \alpha -a } { \sigma } } { e^ { \frac { -z^2 } { 2 } } dz } =\Phi ( { \frac { \beta -a } { \sigma } } )-\Phi ( { \frac { \alpha -a } { \sigma } } ), ( \ast ) \\ \end{array} $
получили формулу Лапласа. В более кратком виде: $P( { \alpha \prec X\prec \beta } )=\Phi ( { \frac { \beta -a } { \sigma } } )-\Phi ( { \frac { \alpha -a } { \sigma } } ) $(*).
Пример. Случайная величина $X$ распределяется по нормальному закону $a=30,\,\sigma =10$. Найти вероятность того, что $X\in ( { 10,50 } ),\, P( { 10\prec X\prec 50 } )=\Phi ( { \frac { 50-30 } { 10 } } )-\Phi ( { \frac { 10-30 } { 10 } } )=$
$ \begin{array} { l } \Phi ( 2 )-( { \Phi ( { -2 } ) } )=2\Phi ( 2 ),\, \Phi (2)=0,4772\,, отсюда \\ P( { 10\prec X\prec 50 } )=2\cdot 0,4772=0,9544 \\ \end{array} $
Далее:
Критерий полноты {формулировка}. Лемма о нелинейной функции
Свойства потока векторного поля
Формула Грина
Критерий полноты {теорема Поста о функциональной полноте}
Класс $T_0$. Теорема о замкнутости класса $T_0$
Вычисление поверхностного интеграла первого рода
Определение тройного интеграла. Теорема существования тройного интеграла
Свойства тройного интеграла
Механические приложения двойного интеграла
Теорема об алгоритме распознавания полноты
Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл
Теорема Стокса
Вычисление площадей плоских областей
Класс $L$. Теорема о замкнyтости класса $L$
Примеры применения цилиндрических и сферических координат
Огравление $\Rightarrow $
Комментарии ()