Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Известно, что если случайная величина задана плотностью распределения, то $ P( { \alpha \prec X\prec \beta } )=\int\limits_\alpha ^\beta { f( x )dx } $

Пусть $X$ - задана нормальным законом распределения

$ \begin{array} { l } P( { \alpha \prec X\prec \beta } )=\frac { 1 } { \sigma \sqrt { 2\pi } } \int\limits_\alpha ^\beta { e^ { \frac { -( { x-a } )^2 } { 2\sigma ^2 } } dx } =\left| { { \begin{array} { \c } { z=\frac { x-a } { \sigma } } \\ { x=z\sigma +a } \\ { dx=\sigma dz } \\ \end{array} } }\right|=\left| { { \begin{array} { \c } { x=\alpha , z=\frac { \alpha -a } { \sigma } } \\ { x=\beta , z=\frac { \beta -a } { \sigma } } \\ \end{array} } }\right|= \\ =\frac { \sigma } { \sigma \sqrt { 2\pi } } \int\limits_ { \frac { \alpha -a } { \sigma } } ^ { \frac { \beta -a } { \sigma } } { e^ { \frac { -z^2 } { 2 } } } dz=\frac { 1 } { \sqrt { 2\pi } } \int\limits_ { \frac { \alpha -a } { \sigma } } ^ { \frac { \beta -a } { \sigma } } { e^ { -\frac { z^2 } { 2 } } } dz=\frac { 1 } { \sqrt { 2\pi } } \int\limits_ { \frac { \alpha -a } { \sigma } } ^0 { e^ { \frac { -z^2 } { 2 } } dz } +\frac { 1 } { \sqrt { 2\pi } } \int\limits_0^ { \frac { \beta -a } { \sigma } } { e^ { -\frac { z^2 } { 2 } } dz } = \\ =\frac { 1 } { \sqrt { 2\pi } } \int\limits_0^ { \frac { \beta -a } { \sigma } } { e^ { \frac { -z^2 } { 2 } } } dz-\frac { 1 } { \sqrt { 2\pi } } \int\limits_0^ { \frac { \alpha -a } { \sigma } } { e^ { \frac { -z^2 } { 2 } } dz } =\Phi ( { \frac { \beta -a } { \sigma } } )-\Phi ( { \frac { \alpha -a } { \sigma } } ), ( \ast ) \\ \end{array} $

получили формулу Лапласа. В более кратком виде: $P( { \alpha \prec X\prec \beta } )=\Phi ( { \frac { \beta -a } { \sigma } } )-\Phi ( { \frac { \alpha -a } { \sigma } } ) $(*).

Пример. Случайная величина $X$ распределяется по нормальному закону $a=30,\,\sigma =10$. Найти вероятность того, что $X\in ( { 10,50 } ),\, P( { 10\prec X\prec 50 } )=\Phi ( { \frac { 50-30 } { 10 } } )-\Phi ( { \frac { 10-30 } { 10 } } )=$

$ \begin{array} { l } \Phi ( 2 )-( { \Phi ( { -2 } ) } )=2\Phi ( 2 ),\, \Phi (2)=0,4772\,, отсюда \\ P( { 10\prec X\prec 50 } )=2\cdot 0,4772=0,9544 \\ \end{array} $